Geometria e Algebra Lineare - Applicazioni Lineari

Lineari applicazioni e matrici

Un'applicazione lineare da uno spazio vettoriale a un altro è un concetto fondamentale nell'algebra lineare. È definita tramite una matrice e soddisfa alcune proprietà che la contraddistinguono. Le applicazioni lineari tra spazi vettoriali reali sono particolarmente importanti e possiedono le seguenti caratteristiche:

Proprietà di linearità

• Additività: Per ogni coppia di vettori v e w nello spazio di partenza, l'applicazione lineare soddisfa la relazione \( L(v + w) = L(v) + L(w) \).
• Omogeneità: Per ogni vettore v nello spazio di partenza e ogni scalare \(\alpha \), \( L(\alpha v) = \alpha L(v) \).

Osservazioni su spazi di partenza e arrivo

Un'applicazione lineare tra spazi vettoriali è detta endomorfismo se lo spazio di partenza e quello di arrivo sono uguali.

Nucleo e immagine

Definiamo i seguenti sottoinsiemi per un'applicazione lineare \( L: V \rightarrow W \):

• Nucleo: L'insieme dei vettori \( v \) in \( V \) tali che \( L(v) = 0 \). Indica i vettori che vengono mappati sull'elemento neutro nello spazio di arrivo.
• Immagine: L'insieme di tutti i vettori \( w \) in \( W \) per cui esiste un \( v \) in \( V \) tale che \( L(v) = w \). Rappresenta i vettori ottenibili come output dell'applicazione.

Osserviamo che il nucleo di un'applicazione lineare è un sottospazio dello spazio di partenza, mentre l'immagine è un sottospazio dello spazio di arrivo.

Osservazione sulle matrici e applicazioni lineari

Per una matrice reale \( A \) che definisce un'applicazione lineare, il nucleo coincide con l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato a \( A \). Di conseguenza, il nucleo è un sottospazio vettoriale.

Teorema delle dimensioni

Sia \( V \) uno spazio vettoriale di dimensione finita e sia \( L: V \rightarrow W \) un'applicazione lineare. Allora vale la relazione fondamentale:

\[ \text{dim}(\text{Im} L) + \text{dim}(\text{Ker} L) = \text{dim}(V) \]

Questa relazione afferma che la somma delle dimensioni del nucleo e dell'immagine di un'applicazione lineare è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale di partenza.