Geometria (seconda parte)

Spazio vettoriale dei polinomi di grado < n

ℝ_<n[X]: insieme dei polinomi (reali) nella variabile x di grado <n.

Esempio

x⁵ + 2x³ - 4x + 17 e x³ + x² − 4 sono polinomi ∈ ℝ_<n[X].

ℝ_<n[X] è un sottospazio vettoriale di ℝ[X]. ℝ_<n[X] ha basi (finite). Ad esempio, una base di ℝ_<n[X] è (1, x, x², x³, …, xⁿ⁻¹).

Questi n vettori (polinomi) sono linearmente indipendenti. Ogni polinomio di grado <n è combinazione lineare di essi.

Esempio

(1, x, x², x³, x⁴, x⁵) è una base di ℝ_<6[X], ha 6 vettori.

Spazio vettoriale dei polinomi di grado < n

ℝ_<n[x] = insieme dei polinomi (reali) nelle variabili x di grado <n.

Esempio

5 + 2x³ - 4x - 17 e x³ + x² - 4 sono polinomi ∈ ℝ_<n[x].

ℝ_<n[x] è un sottospazio vettoriale di ℝ[x]. ℝ_<n[x] ha basi (finite). Ad esempio, una base di ℝ_<n[x] è (1, x, x², x³, ..., xⁿ⁻¹).

Infatti, questi n vettori (polinomi) sono linearmente indipendenti. Ogni polinomio di grado <n è combinazione lineare di essi.

Esempio

(1, x, x², x³, x⁴, x⁵) è una base di ℝ_<n[x], ha 6 vettori.

Spazio vettoriale V

Fissiamo uno spazio vettoriale V con una base B = (v₁, v₂, ..., v_n).

Teorema

Ogni vettore v ∈ V si scrive in modo unico come combinazione lineare di v₁, v₂, ..., v_n.

Dimostrazione

v ∈ V si scrive come combinazione lineare di v₁, v₂, ..., v_n perché questi generano V. Supponiamo:

v = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n

v = b₁v₁ + b₂v₂ + ... + b_nv_n

Allora v - v = (a₁ - b₁)v₁ + (a₂ - b₂)v₂ + ... + (a_n - b_n)v_n.

Essendo indipendenti, l'unica combinazione lineare di v₁, v₂, ..., v_n che dà il vettore nullo è quella con i coefficienti = 0, ovvero a₁ = b₁, a₂ = b₂, ..., a_n = b_n.

Grazie al teorema, se v = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n, definiamo:

F_B(v) = (a₁ ... a_n) coordinate rispetto alla base B.

La base canonica di ℝⁿ

La base canonica di ℝⁿ è E = (e₁, e₂, e₃, ..., e_n).

e₁ = (1)(0)(0)(…)(0)

e₂ = (0)(1)(0)(…)(0)

e₃ = (0)(0)(1)(…)(0)

... e_n = (0)(0)(0)(…)(1)

Rispetto alla base canonica, ogni vettore ha coordinate che coincidono con le sue componenti: infatti:

(d₁)(d₂)(d₃)= (…)(d_n)= d₁ (1)(0)(…)(0) + d₂ (0)(1)(…)(0) + d₃ (0)(0)(1)(…)(0) + ... + d_n (0)(0)(0)(…)(1)

Se cambio base, un vettore ha, in generale, coordinate diverse.

Esercizio

Calcolare le coordinate del vettore (5, 8) rispetto alla base canonica E e alla base B = ((1, 1), (1, 2)).

Coordinate rispetto alla base canonica: F_E (5, 8) = (5, 8)

Coordinate rispetto alla base B: F_B (5, 8) = ?.

Qual è la combinazione lineare di (1,1), (1, 2) che dà (5, 8)?

x₁ (1)(1) + x₂ (1)(2) = (5)(8)

(x₁ + x₂)(x₁ + 2x₂) = (5)(8)

x₁ = 2

x₂ = 3

Quindi F_B (5, 8) = (2, 3).

Il vettore nullo rispetto a B induce le coordinate rispetto a qualsiasi base B = (v₁, v₂, ..., v_n).

0 = 0v₁ + 0v₂ + ... + 0v_n.