Geometria 3 - Appunti

Indice

• 0.1 Spazi metrici
• 0.2 Spazi topologici
• 0.3 Omeomorfismi

Geometria III

0.1 Spazi metrici

Definizione

Sia A un insieme. Si dice spazio metrico se possiamo definire una metrica d: A × A −→ R tale che:

• D(x, y) > 0 se x ≠ y e d(x, y) = 0 se x = y;
• D(x, y) = d(y, x);
• D(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z).

Definizione

Sia (X, d) uno spazio metrico. Allora:

• B_r(x) = {y ∈ X | d(x, y) < r} è la palla aperta di raggio r e centro x;
• B_r(x) = {y ∈ X | d(x, y) ≤ r} è la palla chiusa di raggio r e centro x;
• S_r(x) = {y ∈ X | d(x, y) = r} è la sfera di raggio r e centro x.

Definizione

Sia (X, d) uno spazio metrico. Un sottoinsieme U ⊆ X si dice aperto se per ogni x ∈ U esiste ε_x > 0 tale che, per ogni y ∈ X, d(x, y) < ε_x implica y ∈ U. Allora la palla aperta di centro x e raggio ε_x è interamente contenuta in U, cioè B_εx(x) ⊆ U.

Osservazione

Se U e V sono aperti, allora U ∩ V è aperto. Infatti, per x ∈ U ∩ V, si può prendere ε_x = min{ε_x^U, ε_x^V}.

Se {U_i}_i∈I sono aperti, allora &bigcup;_i∈I U_i è ovviamente aperto.

∅, X sono aperti. Inoltre definiscono una topologia.

Definizione

Due metriche su X si dicono equivalenti se definiscono gli stessi insiemi aperti, cioè le stesse palle aperte.

Definizione: funzione continua

Siano (A, d_A) e (B, d_B) spazi metrici. Una funzione f: A −→ B è continua in x ∈ A se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che, se d_A(x, y) < δ, allora d_B(f(x), f(y)) < ε.

Cioè f(B_δ(x)) ⊆ B_ε(f(x)).

Osservazione

Una funzione continua f: R −→ R, con d(x, y) = |x − y|, soddisfa: per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che, se |x − x₀| < δ, allora |f(y) − f(x₀)| < ε.

Cioè lim_x→x0 f(x) = f(x₀).

Teorema: caratterizzazione delle funzioni continue negli spazi metrici

Siano (X, d_X) e (Y, d_Y) spazi metrici e f: X −→ Y. La funzione f è continua se e solo se, per ogni U aperto in Y, f⁻¹(U) è aperto in X.

Dimostrazione

Dire che f⁻¹(U) è aperto significa che per ogni x ∈ f⁻¹(U) deve esistere B_δ(x) ⊆ f⁻¹(U).

Poiché U è aperto e contiene f(x), perché f(x) sta nella pre-immagine, allora esiste δ tale che B_δ(f(x)) ⊆ U. Dato che f è continua, f(B_δ(x)) ⊆ B_δ(f(x)), cioè B_δ(x) ⊆ f⁻¹(U).

Per mostrare che, se per ogni aperto U di Y la pre-immagine f⁻¹(U) è aperta, allora f è continua, devo trovare δ > 0 tale che f(B_δ(x)) ⊆ B_ε(f(x)).

Poiché B_ε(f(x)) è aperto, per ipotesi f⁻¹(B_ε(f(x))) è aperto e dunque esiste B_δ(x) ⊆ f⁻¹(B_ε(f(x))). Quindi f(B_δ(x)) ⊆ B_ε(f(x)). In questa definizione non compare la distanza.

Definizione: isometria

Siano f: X −→ Y biettiva e (X, d_X), (Y, d_Y) spazi metrici. f si dice isometria se conserva la metrica, cioè d_X(x, y) = d_Y(f(x), f(y)).

Osservazione

Le isometrie sono funzioni continue.

L'isometria è una relazione di equivalenza nell'insieme degli spazi metrici.

0.2 Spazi topologici

Definizione

Sia X un insieme e μ una famiglia di sottoinsiemi di X, con le seguenti proprietà:

• ∅, X ∈ μ;
• Per ogni U, V ∈ μ, U ∩ V ∈ μ;
• Per ogni {U_i}_i∈I ⊆ μ, &bigcup;_i∈I U_i ∈ μ.

Allora μ si dice una topologia di X. (X, μ) si dice spazio topologico. Gli elementi di μ si dicono aperti e gli elementi di X si dicono punti.

Definizione: insieme chiuso

Sia (X, μ) uno spazio topologico. Un sottoinsieme C ⊆ X si dice chiuso se C = c(U), complementare di U, quindi è un aperto, con U = X − U e U ∈ μ.

Teorema

In uno spazio topologico (X, μ):

• ∅, X sono chiusi e aperti;
• Se A, B sono chiusi, allora A ∪ B è chiuso, poiché c(A ∪ B) = c(A) ∩ c(B);
• Se {C_i}_i∈I è una famiglia di chiusi, allora &bigcap;_i∈I C_i è chiuso, poiché c(&bigcap;_i∈I C_i) = &bigcup;_i∈I c(C_i).

Definizione alternativa di spazio topologico

(X, C), con C famiglia di sottoinsiemi detti chiusi che soddisfano 1), 2), 3). La topologia di X si ritrova: μ = {c(C) | C ∈ C}.

Proposizione

Sia A aperto in X, spazio topologico, e B chiuso in X.

• A − B è aperto;
• B − A è chiuso.

Dimostrazione

c(A − B) = c(A) ∪ B, quindi A − B è aperto. c(B − A) = c(B) ∪ A, quindi B − A è chiuso.

Definizione

Uno spazio metrico A ⊆ X è limitato se esiste M > 0 tale che per ogni x, y ∈ A vale d(x, y) < M.

Osservazione

In uno spazio metrico (X, d), presi due punti x, y ∈ X, con x ≠ y, esistono U_x, U_y aperti tali che x ∈ U_x, y ∈ U_y. Un insieme U è aperto se per ogni x ∈ U esiste B ⊆ U, B(x) ⊆ U.

Osservazione

Se X è uno spazio topologico con la topologia banale, gli unici aperti sono ∅, X. Non possiamo mettere alcuna metrica su X che induce la topologia banale: X non è mai uno spazio metrico con quella topologia.

Definizione: metrica discreta

Sia X un insieme. X è sempre uno spazio metrico con metrica discreta (X, d₀), dove d₀ è definita da:

d₀(x, y) = 0 se x = y; d₀(x, y) = 1 se x ≠ y.

Definizione

Uno spazio topologico X è metrizzabile se i suoi aperti coincidono con gli aperti definiti usando una metrica su X.

Definizione

In uno spazio topologico (X, μ), B è una base per la topologia se ogni aperto di μ è unione di elementi di B.

Proposizione

Sia B ⊆ P(X), B ≠ ∅, e X = &bigcup;_B∈B B. Se, per ogni B₁, B₂ ∈ B, vale B₁ ∩ B₂ = &bigcup;_j∈J B_j, allora esiste una topologia μ di cui B è base.

Dimostrazione

Verifichiamo che μ = {A ∈ P(X) | A = &bigcup;_j∈J B_j} è una topologia su X.

• ∅ ∈ μ, X ∈ μ, poiché X = &bigcup;_B∈B B;
• Se A₁, A₂ ∈ μ, allora A₁ ∩ A₂ = (&bigcup;_j∈J B_j) ∩ (&bigcup;_l∈L B_l) = &bigcup;_j∈J,l∈L (B_j ∩ B_l) = &bigcup;_j∈J,l∈L &bigcup;_r∈R B_r ∈ μ;
• Se A_i ∈ μ, A_i = &bigcup;_j∈J B_ji, allora &bigcup;_i∈I A_i = &bigcup;_i∈I &bigcup;_j∈J B_ji ∈ μ.

Per la definizione di base.

Proposizione

Sia X un insieme diverso dal vuoto, B ⊆ P(X). Dire che:

• Per ogni x ∈ X esiste B_x ∈ B tale che x ∈ B_x, cioè X = &bigcup;_B∈B B;
• Se x ∈ B₁ ∩ B₂, esiste B_x ∈ B tale che x ∈ B_x ⊆ B₁ ∩ B₂;

allora esiste una topologia di cui B è una base.

Dimostrazione

Basta dimostrare che 1), 2) implicano a), b). a) è vera. Per b) è sufficiente verificare che, se B₁ ∩ B₂ = &bigcup;_i∈I B_i, allora per ogni x ∈ B₁ ∩ B₂ esiste B_x ⊆ B₁ ∩ B₂. Ma è ovvia e viene dalla condizione b).

Osservazione

Se B è una base per la topologia μ di X, allora μ = {&bigcup;_j∈J B_j, B_j ∈ B}.

Allora siano μ e μ₀ topologie su X. μ è più fine di μ₀ se μ₀ ⊂ μ.

Proposizione

Siano B, B₀ basi per μ, μ₀. Allora μ₀ ⊂ μ se e solo se per ogni x ∈ X e per ogni B ∈ B₀ con x ∈ B, esiste B_x ∈ B tale che x ∈ B_x ⊆ B.

Dimostrazione

Per l'ipotesi B₀ ∈ μ e B₀ ⊆ μ. Poiché B è una base per la topologia μ₀, B = &bigcup;_j B_j⁰. Poiché x ∈ B, esiste j tale che x ∈ B_j⁰.

Sia A un aperto in μ. Vogliamo mostrare che A ∈ μ₀. A = &bigcup;_j∈J B_j. Sappiamo per 2) che B_j = &bigcup;_x∈Bj B_xj⁰. Allora A = &bigcup;_j∈J &bigcup;_x∈Bj B_xj⁰ ∈ μ₀.

Osservazione

Il concetto di base di una topologia mi serve per:

• Definire in modo semplice una topologia, non devo scrivere tutti gli aperti;
• Data una topologia, se ne conosco delle basi è più facile confrontarle.

Definizione

Chiusura e interno di un sottoinsieme di uno spazio topologico. Sia (X, μ) spazio topologico e Y ⊆ X.

La chiusura di Y è Ȳ = &bigcap;_j C_j, dove Y ⊆ C_j.

L'interno di Y è Y^ˆ = &bigcup;_A⊆Y A.

Proposizione

Y è chiuso se e solo se Ȳ = Y. Y è aperto se e solo se Y^ˆ = Y.

Osservazione

• Y ⊆ Ȳ;
• Y^ˆ ⊆ Y;
• Y è chiuso se e solo se Ȳ = Y, perché Ȳ è chiuso.

Proposizione

Sia (X, μ) uno spazio topologico e Y ⊆ X. Per ogni x ∈ Ȳ e per ogni aperto U contenente x, U ∩ Y ≠ ∅.

Dimostrazione

Se x ∈ Ȳ, per assurdo supponiamo che esista U con x ∈ U e U ∩ Y = ∅. Allora c(U) è chiuso, ma è assurdo perché x dovrebbe appartenere a tutti i chiusi contenuti in Y, mentre x ∉ c(U), che è chiuso e contiene Y.

Se per assurdo x ∉ Ȳ, allora x ∈ c(Ȳ), che è aperto. Dato che c(Ȳ) ∩ Y = ∅, è assurdo perché ogni aperto in cui x è contenuto, dall'ipotesi, deve soddisfare c(Ȳ) ∩ Y ≠ ∅.

Proprietà

Siano A, B ⊆ X.

• Ā ∪ B̄ = Ā ∪ B̄;
• A ⊆ B implica Ā ⊆ B̄;
• Se A ⊂ B, allora Ā ⊂ B̄.

Osservazione

Se F è chiuso e Y ⊆ F, allora Ȳ ⊆ F, perché F è uno dei chiusi in cui Y è contenuto. Allora, per l'osservazione precedente, A ⊂ B implica A ⊂ B̄, Ā ⊂ B̄.

Definizione

Sia X uno spazio topologico e Y ⊆ X. L'interno di Y, parte interna di Y, è Y^ˆ = &bigcup;_A⊆Y A.

Osservazione

Y è aperto se e solo se Y^ˆ = Y.

Proposizione

Sia X uno spazio topologico e Y ⊆ X. x ∈ Y^ˆ se e solo se esiste U con x ∈ U e U ⊆ Y.

Proprietà

• (A ∩ B)^ˆ = A^ˆ ∩ B^ˆ;
• A^ˆ ∪ B^ˆ ⊆ (A ∪ B)^ˆ;
• Se A ⊆ B, allora A^ˆ ⊆ B^ˆ.

Osservazione

Se A è aperto e A ⊆ F, allora A ⊆ F^ˆ. Quindi A^ˆ ⊆ A ⊆ B implica A^ˆ ⊆ B^ˆ.

Terminologia

• X è interno ad A se x ∈ A^ˆ;
• X è aderente ad A se x ∈ Ā;
• X è esterno se x ∉ Ā;
• X è punto di accumulazione per A se x ∈ Ā − {x}, x ∈ D(A);
• X è punto di frontiera per A se x ∈ Ā − A^ˆ = ∂A;
• A è denso se Ā = X;
• A è raro se A^ˆ = ∅.

Osservazione sui punti di accumulazione

x ∈ X è di accumulazione per A se e solo se ogni aperto U contenente x contiene un punto di A, cioè U ∩ A − {x} ≠ ∅.

Proposizione

Ā = A ∪ D(A).

Dimostrazione

Se x ∈ A ∪ D(A), siamo a posto. Se x ∈ D(A), allora x ∈ Ā, perché x ∈ A − {x} ⊆ A. Se x ∈ A, siamo a posto. Se invece x ∈ Ā ma x ∉ A, allora per ogni U contenente x, U ∩ A ≠ ∅, quindi U ∩ A − {x} ≠ ∅ e allora x è di accumulazione.

Corollario

Ā = A ∪ D(A).

Definizione: intorni

Se X è uno spazio topologico, N è un intorno di x se:

• X ∈ N;
• Esiste U aperto tale che x ∈ U ⊆ N.

Osservazione

Un insieme aperto è intorno di ogni suo punto.

Proprietà

• Ogni punto ha almeno un intorno.
• Se N è intorno di x, allora M ⊇ N è intorno di x.
• Se M, N sono intorni di x, allora M ∩ N è intorno di x.

Definizione

B(x) si dice base di intorni o sistema fondamentale di intorni se, per x ∈ X, B(x) è una famiglia di intorni e per ogni intorno N di x esiste B_N tale che B_N ⊆ N.

Definizione

Sia X uno spazio metrico.

• X soddisfa il primo assioma di numerabilità se ogni punto ammette una base di intorni numerabile.
• X soddisfa il secondo assioma di numerabilità, second countable, se X ammette una base numerabile.

Osservazione

Se B(x) è una base di intorni aperti per ogni x ∈ X, allora B = &bigcup;_x∈X B(x) è una base di X.

Esistono spazi topologici che soddisfano il primo assioma ma non il secondo assioma di numerabilità.

Definizione: limite

Sia X uno spazio topologico e f: N⁺ −→ X. Si dice che lim_n→+∞ x_n = x se per ogni intorno M ≠ ∅ di x esiste n_M > 0 tale che, se n > n_M, allora x_n ∈ M.

Osservazione

Negli spazi metrici questa è la solita definizione.

Per uno spazio topologico generico il limite non è unico.

Se X è uno spazio topologico banale, allora per ogni successione x_n e per ogni x ∈ X, lim_n→+∞ x_n = x.

Funzioni continue negli spazi topologici

Siano X, Y spazi topologici e f: X −→ Y. f è continua se ogni aperto ha pre-immagine aperta, oppure equivalentemente ogni chiuso ha pre-immagine chiusa: per ogni U ⊆ Y aperto, f⁻¹(U) è aperto; per ogni F ⊆ Y chiuso, f⁻¹(F) è chiuso.

Osservazione

Per f: R −→ R con la topologia euclidea, la nozione usuale di funzione continua coincide.

Teorema

Siano X, Y spazi topologici e f: X −→ Y. f è continua se e solo se f⁻¹(C) è chiuso per ogni C chiuso.

Dimostrazione

Se f è continua, f⁻¹(C) = f⁻¹(Y − U) = f⁻¹(Y) − f⁻¹(U) = X − f⁻¹(U). Allora f⁻¹(U) è aperto e f⁻¹(C) è chiuso.

Viceversa, se f⁻¹(C) è chiuso, allora f⁻¹(U) = f⁻¹(Y − C) = X − f⁻¹(C), e quindi f⁻¹(U) è aperto.

Teorema: caratterizzazione delle funzioni continue

Siano X, Y spazi topologici e f: X −→ Y. f è continua se e solo se per ogni x ∈ X e per ogni V intorno aperto di f(x) in Y esiste U intorno aperto di x tale che f(U) ⊆ V.

Dimostrazione

Sia x ∈ X e V ⊆ Y intorno aperto di f(x). Se f è continua, U = f⁻¹(V) è aperto per definizione e f(U) ⊆ V.

Viceversa, sia V aperto in Y. f⁻¹(V) è aperto? Per ogni x ∈ f⁻¹(V), cioè f(x) ∈ V, per ipotesi esiste U_x contenente x tale che f(U_x) ⊆ V, quindi U_x ⊆ f⁻¹(V). Allora f⁻¹(V) = &bigcup;_{x∈f⁻¹(V)} U_x è aperto.

Definizione

Una funzione f: X −→ Y tra spazi topologici è aperta se manda aperti in aperti. f è chiusa se manda chiusi in chiusi.

Definizione

Sia f: X −→ Y e sia Y uno spazio topologico con topologia μ_Y. La topologia insieme f^*(μ_Y) = {f⁻¹(U) | U aperto di Y} è il pull-back della topologia μ_Y.

Osservazione

f^*(μ_Y) è una topologia di X.

Ricordiamo che f⁻¹(∅) = ∅, f⁻¹(Y) = X, f⁻¹(&bigcup;_i∈I A_i) = &bigcup;_i∈I f⁻¹(A_i) e f⁻¹(&bigcap;_i∈I A_i) = &bigcap;_i∈I f⁻¹(A_i).

L'unione di aperti è aperta.

A ∩ B è aperto.

Osservazione

Se B è una base per μ_Y, allora {f⁻¹(B) | B ∈ B} è una base per f^*(μ_Y) = {f⁻¹(X) | X ∈ μ_Y}.

Perché, se B ∈ f^*(μ_Y), allora f⁻¹(B) ∈ f^*(μ_Y) e per ogni x ∈ X esiste B_x ∈ B tale che x ∈ B_x ⊆ B, perché B è una base.

Allora: f⁻¹ ∗ f⁻¹ ∗ f⁻¹