Geometria 2

Geometria 2: vettori geometrici in R², R³

Definizione: un vettore geometrico è una classe di equivalenza di segmenti orientati aventi stessa direzione, lunghezza, verso.

Posso sommare due vettori (regola del parallelogramma).

Posso moltiplicare un vettore per λ ∈ R: i vettori formano uno spazio vettoriale reale di dim 2 oppure 3.

In R³ fissiamo un sistema di coordinate monometriche con un'origine 0, abbiamo 3 versori ortonormali i, j, k che formano una base di R³.

Allora ∀ᵥ ∈ R³, ∀ᵥ = ai + bj + ck ⇔ ᵥ = (OP) dove il punto P = (a,b,c) ⇔ spesso indichiamo ᵥ con (a;b;c).

Operazioni tra vettori

Prodotto scalare: ᵥ·ᵤ = ||ᵥ|| ||ᵤ|| cosθ θ = il minore degli angoli formati dai due vettori. Il prodotto scalare è un numero reale.

Il prodotto scalare è bilineare:

(ᵥ+ᵥ')·ᵤ = ᵥ·ᵤ + ᵥ'·ᵤ ;

(λᵥ)·ᵤ = λ(ᵥ·ᵤ) ;

ᵥ·ᵤ = ᵥ·(λᵤ).

(ᵥ₁ + ᵥ₂)·(ᵤ₁,ᵤ₂) ≠ (ᵥ₁·ᵤ₁) + (ᵥ₁·ᵤ₂) + (ᵥ₂·ᵤ₁) + (ᵥ₂·ᵤ₂)

ᵥ = (a;b;c), ᵥ' = (a';b';c') ⇒ ᵥ·ᵥ' = aa' + bb' + cc'.

Prodotto vettoriale: ᵥ ∧ ᵤ è un vettore ⊥ a: nullo se θ=0 (se ᵥ//ᵤ).

Di modulo ||ᵥ|| ||ᵤ|| senθ, direzione ortogonale a quella, verso tale che i, ᵥ, ᵤ formano una terna destrorsa.

Se ᵥ = (a;b;c) e ᵤ = (a';b';c') allora

Spazio euclideo

Uno spazio vettoriale reale V si dice spazio euclideo se in V è definito un prodotto scalare, ovvero un'operazione V x V → R tale che valgono le seguenti proprietà:

• Proprietà 1) ᵥ·ᵥ' = ᵥ'·ᵥ ∀ᵥ, ᵥ' ∈ V
• Proprietà 2) ᵥ·ᵥ = 0 ⇔ ᵥ = 0
• Proprietà 3) (ᵥ + ᵥ')·ᵤ = ᵥ·ᵤ + ᵥ'·ᵤ ∀ᵥ,ᵥ',ᵤ ∈ V
• Proprietà 4) (λᵥ)·ᵥ = λ(ᵥ·ᵥ) ∀λ ∈ R

In tali casi diremo che (V, ·) è uno spazio euclideo.

Esempio: verificare che il prodotto scalare “ordinario” renda R3 uno spazio euclideo.

Definizione: in uno spazio euclideo (V, ·) possiamo definire la norma ||ᵥ|| = √(ᵥ·ᵥ).

Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz: se (V, ·) è uno spazio euclideo, allora |ᵥ·ᵤ| ≤ ||ᵥ|| ||ᵤ||.

Geometria 2: vettori geometrici in R², R³

Definizione: un vettore geometrico è una classe di equivalenza di segmenti orientati aventi stessa direzione, lunghezza, verso.

Posso sommare due vettori (regola del parallelogramma)

Posso moltiplicare un vettore per λ ∈ R (i vettori formano uno spazio vettoriale reale di dim 2 oppure 3

In R³ se fissiamo un sistema di coordinate monometrico con un'origine 0, abbiamo 3 versori ortonormali — i, j, k che formano una base di R³.

Allora v = ai + bj + ck ⇔ &overrightarrow{OP} dove il punto P è (a; b; c). Per cui spesso indichiamo v con (a; b; c)

Operazioni tra vettori

Prodotto scalare: v ⋅ w = |v| |w| cosθ θ è il minore degli angoli formati dai due vettori. Il prodotto scalare è un numero reale.

Il prodotto scalare è bilineare

• Proprietà (1) v ⋅ w = w ⋅ v = (w ⋅ v)
• Proprietà (2) v ⋅ (w₁ + w₂) = (v ⋅ w₁) + (v ⋅ w₂) = (w₁ + w₂)
• Proprietà (3) (a₁v) ⋅ w = a₁(v ⋅ w) ∀ v, w, w₁, w₂ ∈ V ∀ a, a₁ ∈ R
• Proprietà (4) v ⋅ w = 0 ⇔ (v ⊥ w)

Es: se v = (a; b; c) e w = (a'; b'; c') si ha che v ⋅ w = aa' + bb' + cc'

Prodotto vettoriale: v × w è un vettore ⊥ t: nullo se θ = 0 (se v//w)

Di norma ||i|| = ||j|| = ||k|| dueciore ortogonaleal al duele, versio tale che i, j, k formano una terna destrorsa)

Se v = (a; b; c) e w = (a'; b'; c') allora:

Spazio euclideo

Uno spazio vettoriale reale V si dice spazio euclideo se in V è definito un prodotto scalare, ovvero un’operazione V × V → R tale che valgono le seguenti proprietà:

• Proprietà (1) v ⋅ w = w ⋅ v ∀ v, w ∈ V
• Proprietà (2) v ⋅ 0 = 0 ∀ v ∈ V
• Proprietà (3) (a₁v) ⋅ w = a₁(v ⋅ w) ∀ a, a₁ ∈ R
• Proprietà (4) (v ⋅ w₁) + ... = (a &notag; w) In tal caso diciamo che (V, ⋅) è uno spazio euclideo

Esercizio 1: Verificare che il prodotto scalare richiamato poco fa rende R³ uno spazio euclideo

Definizione: un uno spazio euclideo (V, ⋅) possiamo definire la norma ||v|| = √(v ⋅ v)

Diseguaglianza di Cauchy-Schwartz: se (v, u ) è uno spazio euclideo, allora ||v ⋅≤ ||v || || u || ∀ n≤ m n

Dimostrazione:

Conducao h ∈ R o ≤ h ≤ 1 u₁ + hvs|u₁+ hvs|² = (u₁+ hvs) (u₁+ hvs) = = u₁ u₁ + u₁ (hvs) (hvs) u₁+ hvs(u₁+ hvs) = u₁ hvs (hvs) (hvs) hvs= |u₁|²+ 2h (u₁ .v)|u₁|² (hvs) |hvs|²= |