Funzioni sui numeri interi, curiosità  e applicazioni

www.matematicamente.it Funzioni sui numeri interi di Stefano Borgogni

Funzioni sui numeri interi - curiosità e applicazioni

Stefano Borgogni

stfbrg@rocketmail.com

Sunto

Questo studio intende esaminare alcune funzioni matematiche che prendono in considerazione i soli numeri interi. Si tratta di funzioni oltremodo semplici, ma che hanno importanti applicazioni pratiche in diversi rami della matematica.

L’idea di fondo è quella di raccogliere in una sintesi unitaria una serie di dati e informazioni sul tema, affrontandolo con un approccio un po’ diverso dal consueto: mentre solitamente le funzioni descritte sono trattate all’interno dei campi della matematica in cui trovano applicazione, il presente studio intende considerarle congiuntamente in un unico quadro d’insieme.

Il testo sarà corredato da una tabella riepilogativa - relativa ai primi 200 numeri interi - che riporta per ciascun numero il valore relativo alle diverse funzioni esaminate.

1 - Le funzioni

Cominciamo proprio con l’elenco delle 5 funzioni che saranno trattate:

• τ (n): Numero di divisori di n
• σ (n): Somma dei divisori di n (compreso n)
• s (n): Somma dei divisori di n (escluso n)
• φ (n), “Funzione di Eulero” (detta anche “Funzione Totiente”): Numero di interi minori di n coprimi con n
• π (n), “Funzione enumerativa dei primi”: Numero dei primi non superiori ad n

1.1 - Funzione τ (n). Numero di divisori di n

Questa funzione associa ad ogni intero positivo il numero dei suoi divisori, inclusi 1 e il numero stesso.

Sono immediatamente evidenti alcune regole per i valori assunti dalla funzione:

• τ (n) vale 1 per n = 1;
• τ (n) vale 2 per tutti gli altri numeri primi;
• τ (n) 2 per tutti i numeri composti.

Può essere interessante notare che τ (n) è una funzione moltiplicativa legata alla fattorizzazione di n: se n = p^a p^b … p^z, vale la formula τ (n) = (a+1) (b+1) … (z+1).

Ad esempio, consideriamo il numero 60. 60 è uguale a 2² 3 5; dunque in base alla formula τ (60) vale (2+1)(1+1)(1+1) = 12, che è infatti il numero di divisori di 60 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60).

1.2 - Funzione σ (n). Somma dei divisori di n (n compreso)

Questa funzione associa ad ogni intero positivo la somma dei suoi divisori, inclusi 1 e il numero stesso. Da tale definizione, si ricavano immediatamente due conseguenze:

• Il valore di σ (n) è sempre maggiore di n, poiché ogni numero è divisore di se stesso;
• σ (n) = n+1 se e solo se n è un numero primo.

Se, invece, n è un numero composto, vale sempre la disuguaglianza σ (n) > n + √n. In altre parole, per quanto pochi divisori abbia un numero n, la loro somma (1 e n compresi) non può essere inferiore al valore n + √n.

Nel caso particolare in cui n sia il quadrato di un numero primo (e, dunque, abbia solo 3 divisori), si avrà esattamente σ (n) = n + √n + 1. Ad esempio, σ (49) = 1+7+49 = 57 che, ovviamente, equivale a 49 + √49 + 1.

La funzione σ (così come la τ appena esaminata) è collegata alla funzione di Riemann, della quale si parlerà più avanti. 1

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1.3 - Funzione s (n). Somma dei divisori di n (n escluso)

La funzione s (n) è molto simile alla precedente, ma in questo caso nella somma dei divisori del numero non viene considerato lo stesso n. Analogamente al caso appena visto, la definizione implica due semplici regole:

• s (n) = 1 se e solo se n è un numero primo;
• s (n) = √n + 1 se n è il quadrato di un numero primo.

Negli altri casi, s (n) può assumere valori sia minori che maggiori di n.

La funzione s (n) ha applicazioni di gran lunga superiori a σ (n); entra, infatti, nella definizione di molte tipologie di numeri.

Numeri perfetti

In primo luogo, s (n) richiama i cosiddetti “numeri perfetti”, definiti - per l’appunto - come numeri equivalenti alla somma dei propri divisori. In altre parole, un numero n è perfetto se vale la relazione n = s (n).

I numeri perfetti furono studiati sin dall’antichità: un teorema enunciato da Pitagora e dimostrato poi da Euclide afferma che se 2ⁿ - 1 è un numero primo, allora m = 2^n-1 (2ⁿ - 1) è un numero perfetto. Successivamente, Eulero dimostrò che tutti i numeri perfetti pari devono avere tale forma.

Ma i numeri esprimibili come 2ⁿ - 1 con n primo sono i ben noti “numeri primi di Mersenne”, per cui si può dire che ciascuno di essi dà sicuramente origine a un numero perfetto. Al momento, si conoscono solo 47 numeri primi di Mersenne e, di conseguenza, 47 numeri perfetti; il più grande tra questi è formato da quasi 26 milioni di cifre!

Aggiungiamo l’elenco dei primi cinque numeri perfetti: 6, 28, 496, 8.128 e 35.550.336. 2 visto

Tra le altre proprietà dei numeri perfetti, si può ricordare che essi sono anche triangolari, che si possono scrivere nella forma k (k+1) / 2, che è appunto la formula per trovare il k-esimo numero triangolare.

Inoltre, è facile dimostrare che tutti i numeri perfetti del tipo sopra indicato terminano per 6 o per 8. Infatti, dalla formula stessa si ricava che:

• 2^n-1 è pari e termina con le cifre 2, 4, 8, 6 (trascuriamo il caso banale n=1);
• 2ⁿ - 1 è dispari e termina rispettivamente per 3, 7, 5, 1 (ma 5 va scartato poiché cadrebbe l’ipotesi di primalità);
• Le coppie rimanenti, 2-3, 4-7 e 6-1, danno come prodotto 6 o 8.

Restano tuttora aperte due questioni relative ai numeri perfetti:

• I numeri perfetti sono infiniti?
• Esistono numeri perfetti dispari?

Sulla base dei risultati trovati finora, effettuando le ricerche per numeri di dimensioni sempre più grandi, si ipotizzano rispettivamente un sì e un no alle due domande (cioè, i numeri perfetti sarebbero infiniti e non ne esisterebbero di dispari), ma nessuna delle due congetture è stata ancora dimostrata.

Numeri amichevoli 3

Sempre a partire dalla funzione s (n) si ottengono i cosiddetti “numeri amichevoli”, ossia coppie di numeri tali che la somma dei divisori dell’uno è uguale all’altro e viceversa. Sinteticamente, a e b sono numeri amichevoli se e

a = s (b) b = s (a).

La più piccola coppia di numeri amichevoli è 220 - 284, infatti la somma dei divisori di 220 (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110) è 284 e la somma dei divisori di 284 (1, 2, 4, 71, 142) è 220.

Vale la pena di segnalare che già nel IX secolo un matematico arabo, Thābit ibn Qurra, scoprì un metodo per trovare coppie di numeri amichevoli: dato n intero positivo, se i numeri

1 Dal nome del frate francese del ‘600 Marin Mersenne, che li studiò.

2 Tra le varie definizioni, si riporta la seguente: “Un numero intero è triangolare se è uguale alla somma di una sequenza di numeri consecutivi a partire da 1”. I primi numeri triangolari sono 1, 3, 6, 10, 15, 21… e si chiamano così perché possono essere rappresentati graficamente in forma di triangolo.