Funzioni - Proprietà

Le funzioni e le loro proprietà

f : A → B

Dati due insiemi, A e B, definiamo funzione qualunque legge matematica che associ ad ogni elemento dell’insieme A uno e un solo elemento dell’insieme B. L’insieme A viene chiamato dominio della funzione.

Data una funzione f si chiama dominio l’insieme dei valori che ammettono un corrispondente attraverso la funzione.

f : A → B sull’insieme di partenza e di arrivo.

f : A ↦ B sull’elemento generico dell’insieme di partenza e di arrivo.

y = f(x): immagine di x e x è controimmagine di y.

Definiamo codominio di una funzione l’insieme delle immagini.

Definiamo controimmagine di un elemento dell’insieme di arrivo il corrispondente dell’elemento dell’insieme di partenza.

Classificazione delle funzioni

• Funzioni goniometriche
• Funzioni trascendenti: logaritmi ed esponenziali
• Funzioni algebriche
• Funzioni radicali con argomento irrazionale
• Funzioni razionali: polinomi
• Funzioni razionali: frazioni di polinomi

In funzioni complesse, la trascendente ha la classificazione.

La funzione viene definita algebrica se contiene solamente operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza o estrazione di radice.

Razionale:

• Intera (o polinomiale): se è espressa mediante un polinomio di primo grado (lineare) o di secondo grado (quadratica);
• Fratta: se è espressa mediante quozienti di polinomi;

Irrazionale: se la variabile indipendente compare sotto il segno di radice.

La funzione, se non è algebrica, viene detta trascendente.

Le funzioni iniettive, suriettive e biiettive

Una funzione da A a B si dice:

• Iniettiva: se a elementi diversi di A corrispondono elementi diversi di B o se ogni elemento di B proviene al più da un elemento di A.

f : A → B è iniettiva se x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂).

• Suriettiva: se ogni elemento B è immagine di un elemento di A.

f : A → B è suriettiva se ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A : b = f(a).

• Biiettiva/corrispondenza biunivoca: se la funzione è sia iniettiva che suriettiva.

Le funzioni crescenti, le funzioni decrescenti, le funzioni monotone

Una funzione si dice monotona quando o è sempre crescente oppure è sempre decrescente.

Analoga definizione può esser data per una funzione monotona in senso lato.

Le funzioni pari e le funzioni dispari

f(x) = f(−x)

y = f(x)

Una funzione si dice pari in D se per qualunque x appartenente a D.

f(−x) = −f(x)

y = f(x)