Funzioni a due variabili

Funzioni reali a due variabili

Definizione:

Si definisce funzione reale a 2 variabili un’applicazione

A B c R R C R

f C

: x x ϵ R

(x,y) z=f(x,y)

Questa applicazione ad ogni coppia (x,y) di numeri reali associa 1 e

un solo valore reale z=f(x,y)

Dominio o campo di esistenza

Data una funzione f:AxB c RxR c C R si definisce dominio, o campo di esistenza l’insieme di tutti i valori che si possono attribuire alle variabili indipendenti x ed y, in modo tale che esiste e sia reale il corrispondente valore di z=f(x,y)

Funzione e dominio

• F. razionale intera D=RxR
• F. fratta D=RxR / i valori che annullano il denominatore ϵ ≠0
• F. irrazionale D={(x,y) ϵ RxR / radicando ≥ 0}
• F. logaritmica D={(x,y) ϵ RxR / logaritmico > 0}
• F. esponenziale D=RxR

Funzione irrazionale

La determinazione del dominio di questa funzione comporta la risoluzione grafica di una disequazione a due variabili. Per risolvere una disequazione in due variabili graficamente si procede nel seguente modo:

1. Passare all’equazione associata.
2. Rappresentare la funzione ottenuta al punto precedente.
3. Dato che la funzione divide il piano in due semipiani, si prende un punto appartenente al semipiano.
4. Sostituisco le coordinate del punto nella disequazione. Se essa è soddisfatta allora il semipiano giusto è quello che contiene il punto; altrimenti si prende il semipiano complementare.

ϵ

Z= x+y-1 D={ (x,y) ϵ RxR / x+y-1 1

Funzione logaritmica

z=log (x+y-1) D=={ (x,y) ϵ RxR / x+y-1> 0} 2

Rappresentazione grafica

1. Nel piano zy.
2. Nel piano zx.
3. Nel piano xy: rappresentazione tramite le curve di livello.

Nel piano zy partendo dalla funzione z=F(x,y) si pone x=costante (K), di conseguenza la funzione diventa ad una variabile z=(K,y) e si può rappresentare nel piano.

Nel piano zx si pone y=costante (K), la funzione diventa ad una variabile z=f(x, K).

Nel piano xy si pone z=costante (K), la funzione diventa f(x, y)=K.

Esempio

Es. z=2x+y-3

1. Si pone z=K 2x+y-3=K.
2. Si esplicita la funzione e riconosce il tipo di curva y=-2x+3+K.
3. Si rappresentano graficamente alcune linee di livello (assegnando a K dei valori arbitrari).

Per K=0 y=-2x+3 A=(0,3) B=(1,1)

Per K=1 y=-2x+3+1 C=(0,4) D=(1,2)

Per K=-1 y=-2x+3-1 E=(0,2) F=(1,0)

Definizione geometrica di curve di livello

Data una funzione z=f(x,y) si definiscono curve di livello della stessa le proiezioni, sul piano xy, delle sezioni ottenute tagliando la superficie con dei piani z=K paralleli al piano xy.

Definizione algebrica

Derivata ad una variabile

Si definisce derivata della funzione nel pto x il (solo se esiste ed è finito)

0

Lim f(x +h)-f(x ) = f ‘ (x ) rapporto incrementale

0 0 0

H 0 h Incremento: non sempre può esistere

Derivata parziale

Si definisce derivata parziale della funzione rispetto alla x il seguente limite

limite Lim f(x +h,y )-f(x ,y ) = f ‘x (x,y)

0 0 0 0

H 0 h

Si definisce derivata parziale della funzione rispetto alla x il seguente limite

Lim f(x +y +k)-f(x ,y ) = f ‘y (x,y)

0 0 0 0

k 0 k

Definizione geometrica

Derivata parziale (x)

Dal punto di vista geometrico, la derivata parziale rispetto alla x, rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva sezione, ottenuta tagliando la superficie con un piano y=y parallelo al piano xz

0

Derivata parziale (y)

Dal punto di vista geometrico, la derivata parziale rispetto alla y, rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva sezione, ottenuta tagliando la superficie con un piano x=x parallelo al piano yz

0

Le due rette tangenti si incontrano nel pto p (x , y ) e individuano un piano detto piano tangente

Z=f( )+ f’x ( )(x-x )+ f’y ( )(y-y )

x , y x , y x , y

0 0 0 0 0 0 0 0

Hessiano

Data una funzione z=f(x,y) definita in un sottoinsieme c R si definisce HESSIANO la seguente funzione (dipendente dalle derivate del secondo ordine) ( ) * ( ) ( )]²

H(x,y)=f ‘’xx x , y f ‘’ yy x , y – [f ‘’ xy x , y

0 0 0 0 0 0

( ) ( )

f ‘’xx x , y f ‘’ xy x , y

0 0 0 0

H ( ) ( )

f ‘’ xy x , y f ‘’ yy x , y

0 0 0 0

Determinazione di max e min

1. Calcolo delle derivate parziali f ‘ x x , y , f ‘y (x,y)
2. 0 0
3. Risoluzione del sistema f ‘x (x,y)=0
4. f ‘y (x,y)=0
5. Se il sistema ammette soluzioni, tranne le soluzioni P (x ,y )
6. 1 1 1 P 0
7. (x ,y )
8. 0 0
9. Calcolo dell’HESSIANO nei punti soluzione del sistema H(x,y) e H
10. 1

(x ,y )

1 1 ( ) > minimo

f ‘’xx x , y P (x ,y )

0 0 0 0 0

H>0 ( ) < Massimo

f ‘’ xx x , y P (x ,y )

0 0 0 0 0

H< 0: punto di sella

H=0: nulla si può dare

Massimo relativo

Data una funzione z=f(x ,y ) definita in un sottoinsieme D c RxR, si dice

0 0

che un pto

P (x ,y ) ϵ R è un Massimo relativo interno se esiste un intorno U circolare di P tale che ad ogni (x,y) si abbia:

0 0 0

f (x ,y ) ≥ f (x,y)

0 0

Minimo relativo

Data una funzione z=f(x ,y ) definita in un sottoinsieme D c RxR, si dice

0 0

che un pto

P (x ,y ) ϵ R è un minimo relativo interno se esiste un intorno U circolare di P tale che ad ogni (x,y) si abbia:

0 0 0

di P tale che ad ogni (x,y) si abbia:

0 f (x ,y ) ≤ f (x,y)

0 0

Massimo assoluto

Valore più grande che la funzione assume in tutto il suo dominio.