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Le funzioni discontinue

∈

x ∈ A

f: A → B

Una funzione è continua in x0 se:

i. ∃ f(x0)

ii. ∃ limx → x0 f(x)

iii. limx → x0 f(x) = f(x0)

Se una di queste assunzioni non è verificata, la funzione è discontinua. Ci sono quindi tre tipi di funzioni discontinue:

Discontinuità di prima specie

∃ limx → x0+ f(x) = l1, l1 ∈ R, è finito.

∃ limx → x0− f(x) = l2, l2 ∈ R, è finito.

Ma l1 ≠ l2.

Esistono sia il limite sinistro che quello destro, ma sono diversi. Vuol dire che non esiste il limite per x0, altrimenti i due limiti, destro e sinistro, coinciderebbero.

Contiene x0 sia x0+ che x0−; se i loro limiti sono diversi, allora sostanzialmente non esiste il limite.

Non vale quindi la seconda condizione di continuità.

In questo caso c’è un salto nella funzione e la discontinuità non è eliminabile. Quindi nella discontinuità di prima specie la funzione presenta un salto non colmabile!

Per esempio:

  • x > 0: f(x) = 1
  • x < 0: f(x) = −1
  • x = 0: f(x)

In corrispondenza di x0 = 0 la funzione presenta un salto di 2 unità e che quindi non si può risanare perché ≠ 0, non nullo.

Discontinuità di seconda specie

Si ha quando non esiste il limite, o non esiste finito almeno uno dei due limiti, destro o sinistro. Questa discontinuità non è eliminabile.

1) Non esiste il limite

f(x) = sin 1/x

Questa funzione non ha un periodo fisso perché non sappiamo dare un valore preciso.

Infatti, se x → 0, 1/x → ∞ e sin tende all’infinito.

In un intorno all’infinito non si sa in che posizione ci si trovi perché il sin è una funzione oscillante.

Così, anche nell’intorno dello 0 essa può di fatto assumere qualsiasi valore, e per questo la lasciamo tratteggiata in grafico.

Non esiste un valore preciso, ma ci possono essere tutti gli infiniti valori compresi tra 1 e −1.

2) Non esiste limite finito

La funzione tende all’infinito, +∞.

La funzione tende all’infinito, −∞.

f(x) = 1/(x − π/2)

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Sintesi

Funzioni discontinue

Una funzione

[math]f:A\rightarrow B[/math]
è continua in
[math]x_0\in A[/math]
se:

  • 1)
    [math]\exists\ f(x_0)[/math]
  • 2)
    [math]\exists\ \lim_{x\to x_0} f(x)=l\not=\infty[/math]
  • 3)
    [math]f(x_0)=l[/math]

Se una di queste assunzioni non è verificata, la funzione è discontinua. Ci sono quindi tre tipi di funzioni discontinue:

Discontinuità di prima specie

[math]\exists \lim_{x\to x_0^+} f(x)=l_1\in\mathbb{R}[/math]

[math]\exists \lim_{x\to x_0^+} f(x)=l_2\in\mathbb{R}[/math]

[math]l_1\not= l_2[/math]

Esistono sia il limite sinistro che quello destro, ma sono diversi. Vuol dire che non esiste il limite per

[math]x\to x_0[/math]
altrimenti i due limiti, destro e sinistro, coinciderebbero. Non vale quindi la seconda condizione di continuità.

In questo caso c’è un salto della funzione e la discontinuità non è eliminabile. Per esempio:

[math]f(x)=\frac{|x|}{x}=\left\{\begin{array}{lcl} 1 & & x>0\\ -1 & & x<0 \end{array}\right.[/math]

In corrispondenza di x=0 la funzione presenta un salto di 2 unità.

Discontinuità di seconda specie

Si ha quando o non esiste il limite, o non esiste finito almeno uno dei due limiti (destra o sinistra). Questa discontinuità non è eliminabile.

Esempio di funzione con limite che non esiste:

[math]f(x)=sin\frac{1}{x}[/math]

In questo caso, per

[math]x\to x_0[/math]
la funzione oscilla tra i valori -1 e 1, senza assumere un valore preciso: il limite non esiste.

Esempio di funzione con limite infinito

[math]f(x)=\tan x[/math]

In questo caso si ha

[math]\lim_{x\to \pi/2^{\pm}} f(x)=\mp\infty[/math]

Pertanto la funzione ha i limiti destro e sinistro differenti e infiniti.

Esempio di funzione in cui non esiste finito uno dei due limiti

[math]f(x)=e^{1/x}[/math]

In questo caso

[math]\lim_{x\to 0^-} f(x)=0^+,\qquad \lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty[/math]

Discontinuità di terza specie

[math]\exists\ \lim_{x\to x_0}f(x)=l\not=\infty,\qquad \nexists\ f(x_0)[/math]

Esiste il limite, ma non esiste il valore della funzione. In questo caso la discontinuità si può eliminare usando la nuova funzione, detta estensione continua

[math]\tilde{f}(x)=\left\{\begin{array}{lcl} f(x) & & x\not= x_0\\ l & & x=x_0 \end{array}\right.[/math]

Esempio:

[math]f(x)=\frac{\sin x}{x}[/math]

La funzione non è definita in

[math]x_0=0[/math]
, però esiste il limite che è uguale a 1. Pertanto poniamo

[math]\tilde{f}(x)=\left\{\begin{array}{lcl} \frac{\sin x}{x} & & x\not= 0\\ 1 & & x=0 \end{array}\right.[/math]

Esempio:

[math]f(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}[/math]

La funzione non è definita in

[math]x_0=1[/math]
. Tuttavia

[math]\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\lim_{x\to 1}\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{2}[/math]

Pertanto la discontinuità è eliminabile e possiamo porre

[math]\tilde{f}(x)=\left\{\begin{array}{lcl} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1} & & x\not= 1\\ \frac{1}{2} & & x=1 \end{array}\right.[/math]

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