Funzioni a valori vettoriali

Gianni Sammito Appunti di Analisi II

Funzioni a valori vettoriali m

Una funzione a valori vettoriali è una funzione che ha come codominio l’insieme R , m ∈ N\{0},

o comunque un suo sottoinsieme non vuoto. Nel caso in cui m = 1, la funzione considerata è

scalare a valori reali, pertanto si nota che le funzioni scalari sono solo un caso particolare delle

funzioni a valori vettoriali. n

Un esempio di funzione a valori vettoriali è il gradiente. Si consideri un insieme aperto A ⊂ R ,

1 1

e sia f : A → R una funzione di classe C di A, ovvero f ∈ C (A).

In ogni punto del dominio le derivate prime di f sono continue, pertanto è differenziabile, dunque,

preso x ∈ A, risulta ¶

µ ∂f

∂f

∂f (x)

(x), . . . ,

(x),

∇f (x) = x

x

∂x n

2

1

Dunque il gradiente è a tutti gli effetti una funzione a valori vettoriali cosı̀ definita

¶

µ ∂f

∂f

∂f

n (x)

(x), . . . ,

(x),

∇f : A → R : x 7→ x

x

∂x n

2

1

Un altro esempio di funzione a valori vettoriali si può trovare nel considerare le coordinate

© ª

+ 3 2 2 2 2

geografiche. Fissato R ∈ R , si consideri l’insieme A = (x, y, z) ∈ R : x + y + z = R ,

ovvero l’insieme dei punti sulla superficie di una sfera di raggio R centrata nell’origine.

Figura 1: Latitudine e longitudine

¤

£ π

π e la longitudine ϕ ∈ [−π, π] di un generico punto P sulla

,

Conoscendo la latitudine θ ∈ − 2

2

superficie della sfera A, è possibile risalire alle coordinate cartesiane (x, y, z) mediante questa

trasformazione  x = R cos(θ) cos(ϕ)

 y = R cos(θ) sin(ϕ)

 z = R sin(θ) 2

Questa trasformazione ha come dominio un sottoinsieme di R , a cui è associata la coppia (ϕ, θ),

3

e come codominio R , a cui è associata la terna (x, y, z), quindi questa trasformazione è una

funzione a valori vettoriali cosı̀ definita

i

h π

π 3

→ R : (ϕ, θ) 7→ (R cos(θ) cos(ϕ), R cos(θ) sin(ϕ), R sin(θ))

,

F : [−π, π] × − 2

2 1

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