Formule di Taylor
Sia f derivabile in x0.
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + Θ(x - x0)
sen x = x + Θ(x)
sen x = sen 0 + cos 0 (x - 0) + Θ(x - 0)
ex = 1 + x + Θ(x)
ex = e0 + e0(x - 0) + Θ(x - 0)
√2 = 1, Θ(1 + x) + R |R| ≤ 0.1
x0 = 0
x = 0
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + a(x - x0)2 + Θ((x - x0)2) per qualche a ε ℝ?
f(x) - f(x0) - f'(x0)(x - x0) - a(x - x0)2 = Θ((x - x0)2)
limx → x0 f(x) - f(x0) - f'(x0)(x - x0) - a(x - x0)2 = 0(x - x0)2
1/2 limx → x0 f''(x) - 2a = ?
2(x - x0) = 0
Formule di Taylor
Sia f derivabile in x0
f(x) = f(x0) + f'(x0) (x-x0) + Θ(x-x0)
sen x = x ± Θ(x)
sen x = sen 0 + cos 0 (x-0) ± Θ(x-0)
x0=0
ex = 1 + x + Θ(x)
ex = e0 + e0 (x-0) + Θ(x-0)
√2 = 1, 41 4 2 + R |R| ≤ 0,1
È inutile scrivere queste cifre dato che il resto è di ordine superiore.
f(x) = f(x0) + f'(x0) (x-x0) + a (x-x0)2 + Θ((x-x0)2) per quale a ∈ ℝ?
f(x) = f(x0) - f'(x0) (x-x0) - a (x-x0)2 = Θ((x-x0)2)
limx→x0 f(x) - f(x0) - f'(x0)(x-x0) - a (x-x0)2 = 0(x - x0)2
limx→x0 f'(x) - f'(x0) - 2a (x-x0)2(x-x0)
limx→x0 f''(x) = 2a
2
2a = ?
a = fm(x0)⁄2
Teorema
Se f è derivabile m-1 volte in un intorno di x0 e esiste fm(x0), allora, per x → x0,
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + f''(x0)(x - x0)2⁄2 + f'''(x0)(x - x0)3⁄3! + ... + f(m)(x0)(x - x0)m⁄m! + θ((x - x0)n)
Pn(x) polinomio di Taylor di f centrato in x0, di ordine n.
Formula di Taylor con il resto nella forma di Peano
Es f(x) = ex fm(x) = ex ∀ x ∈ ℝ
x0 = 0
fm(0) = 1 ∀ m
f(x) = ex = e0 + e0(x - 0) + e0⁄2(x - 0)2 + e0⁄3! (x - 0)3 + ...... + e0⁄m! (x - 0)m + σ((xm))
ex = 1 + x + x2⁄2 + x3⁄3! + x4⁄4! + ... + xm⁄m! + σ((xm))
P1(x) = 1 + x
P2(x) = 1 + x + x2⁄2
P3(x) = 1 + x + x2⁄2 + x3⁄6
...
ex = 1 + x + σ((x))
ex = 1 + x + x2⁄2 + σ((x2))
ex = 1 + x + x2⁄2 + x3⁄6 + σ((x3))
...qui la formula è più raffinata della precedente.
Esempio: sen x
Es f(x) = senx
f'(x) = cosx
f''(x) = -sen
f'''(x) = -cos
x0 = 0
f(x0) = 0
f'(x0) = 1
f''(x0) = 0
f'''(x0) = -1
ecc...
m = 1: senx = x + o(x)
e già il di Taylor arrestata al primo ordine.
m = 2 senx = x +x3/3! + o(x3) = P3(x)
f(4)(x) = cosx
-cosx = 1 - x2/2! -x4/4!
cosh x = 1 + x2/2! + o(x3)
f(x) =1/(1+x)
f'(x) = -1/(1+x)2
f''(x) =2/(1+x)3
log(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - x4/4 + ... + (-1)m+1 xm/m + Θ(xm)
(1+x)α = 1 + αx + α(α-1)/2 x2 + ... + α(α-1)(α-2)...(α-m+1)/m! xm + Θ(xm)
(a+b)m = am + mam-1b + (m)/(2) am-2b2 + ... + bm
n(n-1)
Esempio
Es x0 = 0
1/(1+x) = (1+x)-1= 1-x+x2-x3+...+(-1)mxm+Θ(xm)
(α/2) = α(α-1)/2 = -1/2 = -1/2
(α=-1)
(α/3) = α(α-1)(α-2)/3! = -1(-2)(-3)/3! = -1/6
Ricorda progressione geometrica
1 + x + x2 + ... + xm = 1-xm+1/1-x
con x->x
Esempio
Es x0 = 0 (m = 2)
√(1 + x) = (1 + x)1/2= 1 + x/2 - x2/8 x2 + Θ(x2)
(α/2) = 1/2/2 = 1/2(1/2-1)= -1/8
Osservazione
Oss (vediamo esempio su f(x)=senx)
p1(x) = x senx = x + Θ(x)
p2(x) = x - x3/6 senx=x-x3/6+Θ(x5)
p3(x) = x - x3/6 + x5/120 senx = x-x3/6+x5/120+Θ(x7)
p4(x) = 1+Θ(x4)
pn(x), m -> aderisce sempre più al grafico.
Esempio
Es limx→0 (ex2+z) (cosx-1)/senx ⋅ (ecosx-e)
ex = 1 + x + x2/2 + o(x2)
cosx = 1 - x2/2 + o(x3)
senx ~ x + o(x)
ecosx = e1-x2/2 + o(x3) = e ⋅ e ⋅ ex2/2 + o(x3) - e =- e ⋅ ex2/2 + o(x3) = e ⋅ [-x2/2 + Θ(x3)] + o(x2) - 1
limx→0 [x + x2/2 + o(x2)] ⋅ [z + x2/2 + Θ(x3)]/[x + o(x)] ⋅ [e ⋅ [-x2/2 + Θ(x2)]] == limx→0 x2+ x3+ Θ(x3) ⋅ z + Θ(x2)= -z/e
Formula di Maclaurin
Se x0 = 0 la formula di Taylor si dice anche formula di Maclaurin.
f (x) = f (0) + f′ (0)x + f′′ (0)/2! x2+ . . . + f(m) (0)/m! xm + o(xm)
Complemento
Sotto ipotesi opportune per f. (f di classe Cn+1 in un intorno di x0) f (x) = f(x0) + f′ (x0)(x-x0) + . . . + f(m) (x0)/(m!) ⋅ (x-x0)m + f(m+1) (c)/(m+1)! (x-x0)m+1
Esempio
Es sen 1/10/1/x
m = 3
x0 = 0
sen x = x – x3/6 + sen c1/4! x4
x = 1/10
sen 1/10 = 0,1 – 1/6 + 0,002 + sen c1/4! (1/10)4
sen c1 /4! (1/10)4 = E (errore)= 0,09983 0 < E < 1/105
Osservazione
Oss supponiamo che f(x) sia di classe C∞ se IR e f(x) = 3![x – Δ =] (x – z)3 + θ (x – z)3 per x → z
x0 = z
↓f'' (z) = 0 → f'' (z) = 2 × 3!
Funzioni convesse e concave
y = f(x) y = f(x)
f'' (x) > 0 f'' (x) < 0
Se f è derivabile in un punto x0 ∈ IR,
- Nella f nella tg f(x0) + f'(x0)(x – x0)
f convessa in x0. (il grafico di f sta sopra quello della tangente in un intorno di x0).
- F ha un flesso ascendente in x0 (sotto → sopra)
f concava in x0.
- F ha un flesso ascendente in x0 (sotto → sopra)
- F ha un flesso discendente in x0 (sopra → sotto)
1 f convessa in x0 ⇔ ∃ un intorno U di x0.
f(x) ≥ f(x0) + f'(x0)(x-x0) ∀ x ∈ U
(f strett. convessa ⇒ …)
f(x) > f(x0) + f'(x0)(x-x0) ∀ x ∈ U &backslash; {x0}
2 f concava in x0 ⇔ ∃ un intorno U di x0.
f(x) ≤ f(x0) + f'(x0)(x-x0) ∀ x ∈ U
(f strett. concava ⇒ …)
f(x) 0) + f'(x0)(x-x0) ∀ x ∈ U &backslash; {x0}
3 x0 punto di flesso ascendente se
f(x) ≤ f(x0) + f'(x0)(x-x0) ∀ x ∈ U, x > x0
Analogamente per ↓
f(x) ≥ f(x0) + f'(x0)(x-x0) ∀ x ∈ U, x 0
f''(x0) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + f''(x0)(x-x0)2 + o((x-x0)2)
f(x) - (f(x0) + f'(x0)(x-x0)) = f''(x0)(x-x0)2
4 concessa in x0 &Increment; ≥ 0 ⇒ f concessa in x0
(f strett. convessa in x0) 4 x ≠ x0
f''(x0) = 0 + o(1) (x- x0)2 > 0(x ≠ x0)
f''(x0) > 0 ⇒ x ⇒ x0
Breve se f''(x0) > 0 la funzione per x ∈ M \ {x0} intorno opportuno di x0.
Teorema 1
Sia f derivabile in un intorno di x0 ∈ R ed esista f''(x0). Allora
- Se f''(x0) > 0 allora f è strettam convessa in x0.
- Se f''(x0) < 0 allora f è strett concava in x0.
- Se f è convessa in x0 allora f''(x0) ≥ 0
- Se f è concava in x0 allora f''(x0) ≤ 0
- Se f è un punto di flesso allora f''(x0) = 0
Definizione
Def se f è derivabile in un intervallo aperto I, f si dice convessa in I se è convessa in ogni punto x0 ∈ I.
Teorema 2
Se f è derivabile 2 volte su I:
f convessa su I ⇔ f''(x) ≥ 0 ∀x ∈ I
f concava su I ⇔ f''(x) ≤ 0 ∀x ∈ I
Se f''(x0) = 0?
Esempio
Es x0 = 0 punto di flesso ascendente
f''(0) = 0
f'''(0) > 0
x0 = 0 punto di flesso discendente
f''(0) = 0
f'''(0) < 0
Teorema
[Teorema] sia f derivabile m-1 volte in un intorno di x0 e f(m)(x0)
Supponiamo che:
f''(x0) = ... = f(m-1)(x0) = 0, f(m)(x0) ≠ 0
Allora
m pari
f(m)(x0) > 0 => f strett. convessa in x0
f(m)(x0) < 0 => f strett. concava in x0
m dispari
f(m)(x0) > 0 => x0 punto di flesso ascendente
f(m)(x0) < 0 => x0 punto di flesso discendente
Esempio
Es f(x) = x + x4
f'(0) = 1
f''(0) = 0
f'''(0) = 0
f(4)(0) = 1.41 > 0
f convessa in x0 = 0
Osservazione
Oss se f'(x0) = 0
f convessa in x0 => f ha un punto di minimo relativo in x0
f concava in x0 => f ha un punto di massimo relativo in x0
Perciò nei teoremi 1 e 3 se inoltre f'(x0) = 0 allora si può sostituire "strett. convessa" "strett. concava"
f'1(x0) = 0 f''1(x0) > 0 => PTO DI MIN
f'1(x0) = 0 f''1(x0) < 0 => PTO DI MAX
Esempio
Es supponiamo f di classe C∞ su R tale che
f(x) = -2 + 3x + 5(x-1)2 + Θ((x-1)2) per x -> (1
f(1) = + 3 (x-1) + 5 (x-1)2 = Θ ((x-2)2)1
f'(x) = 3 > 0 (f' continua)
Esempio
Es sia f(x) (forma) funzione di classe C∞ su R:
f(x) = - 5 (x-2)3 + 7(x-2)5 + θ((x-2)5) per x > 2
x0 = 2 punto di MAX o MIN?
retta tg. in x0 = 2?
f(x) = 2
f'(2) = 0
f''(2) = 0
f''(2) = 0
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