Formulario segnali certi

Tipi di segnali

Continuo campi analogico campionato discreto digitale.

• Nuove forme d'onda → spazi vettoriali.
• Due vettori sono ortogonali se il loro prodotto è nullo.

x = Σ xi eixi = /

Segnale di energia

E_x = lim Δt→∞ ∫ x(t) x*(t) dt = | 0 < E_x < +∞ | limitati in durata e ampiezza.

Segnale di potenza

P_x = lim Δt→∞ 1/Δt ∫ x(t) x*(t) dt | 0 < P_x < +∞ ____

Prodotto scalare segnali di energia

lim Δt→∞ ∫ |x(t)y*(t)|² ≤ E_x · E_y

Prodotto scalare segnali di potenza

lim Δt→∞ 1/Δt ∫ |x(t) y*(t)|² ≤ P_x · P_y

Tipi di segnali

Continuo analogico campionato x = continuo t = discreto.

Discreto t = continuo x = discreto.

Digitale entrambi discreti.

• Nuove forme d'onda → spazi vettoriali.
• Due vettori sono ortogonali se il loro prodotto è nullo.

x = ⟨x_i e_i⟩

x_i = ⟨u, e_i⟩ / ⟨e_i, e_i⟩

Segnale di energia

E_x = lim_Δt→∞ ∫_-Δt/2^Δt/2 x(t) x^*(t) dt = 0 < E_x < +∞

Limitato in durata e ampiezza.

= lim_Δt→∞ ∫_-Δt/2^Δt/2 |x(t)|² dt

Segnale di potenza

P_x = lim_Δt→∞ 1/Δt ∫_-Δt/2^Δt/2 |x(t)|² dt

0 < P_x < +∞

Prodotto scalare segnali di energia

lim_Δt→∞ ∫_-Δt/2^Δt/2 |∫ μ(t) ν^*(t) dt|² ≤ E_u · E_ν

⟨x(t), y(t)⟩ = lim_Δt→∞ ∫_-Δt/2^Δt/2 x(t) y^*(t)

Prodotto scalare segnali di potenza

lim_Δt→∞ 1/Δt ∫_-Δt/2^Δt/2 |∫ x(t) y^*(t) dt|² ≤ P_x · P_y

Sistemi lineari e permanenti

H{∑_i=1^N a_ix_i(t)} = ∑_i=1^N a_iH{x_i(t)} SIST.UN.

H{∑_i=1^∞ a_ix_i(t)} = ∑_i=1^∞ a_iH{x_i(t)} lineare in senso esteso.

r_s = ∑_i=1^N r_si e_i

Coeff. Comb. lineare.

y(t-t₀) = H{x(t-t₀)} sistema permanente.

Base segnali discreti

{δ[n], δ[n±1], δ[±2]...} = e_i

Segnale discreto

x[n] = ∑_k=-∞^∞ x[n] δ[n-k]

x = ∑ x_k e_k

Risposta impulsiva

h[n] = H{δ[n]}

Somma di convoluzione

y(n) = ∑_k=-∞^+∞ x_k h[n-k]

Integrale di convoluzione

y(t) = ∫_-∞^+∞ x(τ) h(t-τ) dτ

(Commutativa, distrib., associat.)

Impulso

u₀(t)

∫_-∞^+∞ u₀(t) dt = 1, u₀(t) = u₀(-t), u₀(at) = (1/|a|) u₀(t)

Esempio rect_Δ(t-Δ) * u₀(t-2Δ) = rect_Δ(t-3Δ)

Segnali impulsivi

∫_-∞^+∞|x(t)| dt < +∞

• Qualsiasi segnale limitato nel tempo e in ampiezza è impulsivo.
• Un segnale impulsivo limitato in ampiezza è anche di energia.
• Un segnale limitato in durata e di energia → è impulsivo.

Intercorrelazione e autocorrelazione

Intercorrelazione tra segnali di energia

e_xy(t) = lim_Δt→+∞ ∫^Δt/2_−Δt/2 x^*(τ) y(t+τ) dτ = ∫^+∞_−∞ x^*(τ) y(t+τ) dτ

e_xy(t) = x^*(−t) * y(t)

Intercorrelazione per segnali di potenza

R_xy(t) = lim_Δt→+∞ 1/Δt ∫^Δt/2_−Δt/2 x^*(t) y(t+τ) dτ

Autocorrelazione energia

e_xx(t) = lim_Δt→+∞ ∫^Δt/2_−Δt/2 x^*(τ) x(t+τ) dτ

e_xx(t) = lim_t→0 ∫^+∞_−∞ x^*(t) x(t) dt = E_x

Autocorrelazione potenza

R_xx(t) = lim_Δt→+∞ 1/Δt ∫^Δt/2_−Δt/2 x^*(τ) x(t+τ) dτ

R_xx(t) = lim_t→0 lim_Δt→+∞ 1/Δt ∫^Δt/2_−Δt/2 x^*(t) x(t) dt = P_x

Prodotto scalare segnali di energia

⟨x(t), y(t)