Formulario riassuntivo Campi elettromagnetici e propagazione

Atenuazione e guadagno

Introduciamo il concetto di attenuazione e guadagno. Sia la potenza dell’onda in ingresso P₁ e la potenza in uscita P₂.

• Se lavoriamo in un mezzo con perdite abbiamo un’attenuazione pari a A = 10 log₁₀(P₂/P₁) [dB]
• Se c’è un guadagno, abbiamo un’amplificazione G = 10 log₁₀(P₂/P₁) [dB]

Osserviamo che per tali mezzi, con elevata conducibilità, lo spessore di penetrazione è minimo. Nei conduttori reali, questa affermazione si mantiene vera per f ≤ 10¹⁷ Hz.

Riflessione e rifrazione

Equazioni di Maxwell

Ricordiamo innanzitutto le equazioni di Maxwell:

• ∇× E = -jωµH + J
• ∇× H = jωε E + σ E = jωε E
• ∇· E = σ
• ∇· H = 0

Da queste, imponendo, otteniamo le equazioni di continuità del campo elettrico e del campo magnetico, tra due mezzi 1 e 2, ove n̂ è il versore normale alla superficie:

• E₁ × n̂ = E₂ × n̂
• D₁ · n̂ = D₂ · n̂
• B₁ · n̂ = B₂ · n̂
• H₁ × n̂ = H₂ × n̂

Coefficiente di riflessione e trasmissione

Nel passaggio di un’onda tra un mezzo e un altro, in virtù degli indici di rifrazione, possiamo ricavare i coefficienti di riflessione e trasmissione:

• (E_0r/E_0i) = Γ = (η₂ - η₁) / (η₂ + η₁)
• (E_0r/E_0i) = τ = 2η₂ / (η₂ + η₁)

A seguire, ricordiamo le leggi di Snell, in cui l’angolo dell’onda incidente eguaglia quello dell’onda riflessa, mentre tra angolo incidente e angolo trasmesso sussiste la relazione: n₁ sin(θ_i) = n₂ sin(θ_t) con il relativo angolo limite θ_i = arc sin(n₂/n₁), oltre il quale abbiamo il fenomeno della rifrazione totale.

Espressioni del campo elettromagnetico

Guardiamo adesso le espressioni del campo elettromagnetico nel mezzo 1:

• E = x̂ E_0i e^-jk₁z(1 + Γ e^jφ e^2jk₂z)
• B = ŷ (1 - Γ e^jφ e^2jk₂z) / η₁

Possiamo pertanto apprezzare dei massimi e dei minimi:

• E_max, B_min: φ + 2jk₁z = 2Nπ
• B_max, E_min: φ + 2jk₁z = (2N + 1)π

Ricordando che se Γ < 0, φ = π.

Densità di potenza attiva

Infine, parliamo della densità di potenza attiva dell’onda:

• Incidente: P_i = 2|E|₀² / 2η₁
• Riflessa: P_r = 2|E|₀² |Γ|² / 2η₁
• Trasmessa: P_t = 2|E|₀² (1 - |Γ|²) / 2η₁

Introduciamo la riflessione e rifrazione in caso di buon conduttore. In particolare, portando al limite i risultati che si ottengono in questo caso, arriviamo ad osservare il caso di conduttore perfetto, in cui pertanto σ → ∞, α → ∞, δ → 0. Di conseguenza, il campo non penetra nel conduttore ideale, ma viene totalmente riflesso: Γ = -1.

Si stabilisce, dunque, un’onda stazionaria, descritta dalle equazioni:

• e(t, z) = 2 E_0i sin(k₁z) sin(ωt)
• h(t, z) = ŷ (2E_0i / η₁) cos(k₁z) cos(ωt)

Nel dominio del tempo, ove la dipendenza spazio-temporale è disaccoppiata.