Formulario per esame Analisi 2

ℝ² Modulo, retta tra due punti

Modulo: ||u|| = √x² + y² + z². u = (x,y) √x² = |x|.

Distanza tra due punti: d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)².

Prodotto scalare: u ⋅ v = |u|⋅|v| cos(α) ⟂ = 0 → u_x⋅v_x + u_y⋅v_y + u_z⋅v_z = 0. = proiezione.

ℝ³ Retta, prodotto vettoriale e piano

V = (x - x₀, y - y₀, z - z₀) = (a,b,c).

x = x₀ + t⋅a; y = y₀ + t⋅b; z = z₀ + t⋅c. P = (x₀, y₀, z₀) = passaggio.

|u|⋅|v| sin(α). Prodotto vettoriale: C S C S_{0 0 0 0}, u x v ⟂ → vettore risultante.

Piano: x = x₀ + t m₁ + s⋅n₁; y = y₀ + t m₂ + s n₂; z = z₀ + t m₃ + s⋅n₃. 2π₀ 1 1.

a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0. ≠ 0 → lin. indipendenti. = 0 → //.

m = (1,0,fx(x₀, y₀)) n = (0,1,fy(x₀, y₀)) 0 3 30, 0 0, 0.

Distanza P – π

Distanza P – π: P: (x₀, y₀, z₀). π: ax + by + cz + d = 0.

|ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √a² + b² + c². V_π = (a,b,c).

π ⟂ P | dist. min: π ∩ (r π per P). r param. in π, ottengo t, sostituisco in retta param. → coordinate P.

Forme quadratiche

Forme quadratiche: π = polinomio di 2° grado di n variabili.

A = A - λId. Singolare → det = 0. Det (A - λId) =.

Limiti

Limiti. Scala infiniti: n x x^x → 0: log x – x – x – a – x! – xℝ ℝⁿ → ∞ x x nx → ∞: x – x! - a – x – x – log x.

Tangente, normale e coordinate

Tangente // in (x,y,z)

• Trovo r’(t) generico.
• Sostit. (x,y,z) nella parametr. → passaggio.
• Sostituisco la t in r’(t) → V dir tangente (a,b,c).

Sferiche/Polari ⟂.

Normale in (x,y,z)

Come tangente, poi:

• (a,b,c) ⋅ (n₁, n₂, n₃) = 0.
• Pongo n₁ = 1 e assegno le altre in modo da rispettare la condizione trovata → V dir normale.

Cilindriche.

Gradiente e derivata direzionale

Gradiente: direzione tangente.

Derivata direzionale: ∇ = f(x₀,y₀) · v.

Piano tangente a una superficie

* in (x₀,y₀).

∇z = f(x₀,y₀) + f(x₀,y₀) · (x - x₀, y - y₀).

* solo se è differenziabile. Sostituzione. Successioni.

Studio funzione

a(x,y) → (0,0) lim (1/n) lim f(x) n → ∞ (x,0) → (0,0).

• Dominio.

(0,y) → (0,0).

Hessiano. n radici: √f(x) = ± f(x) se n pari → f(x) ≥ 0. a(x,y) → ∞ lim (n) n → ∞.

Frazioni: den ≠ 0. Logaritmi: arg ˃ 0.

Taylor: se ||(x,y)|| → ∞ lim f(x) n → ∞.

Arcsin: (-1, 1). Tan: ≠ π.