Formulario per esame Analisi 1

Funzioni e trasformazioni

Trasformazioni delle funzioni

y = f(x+b): Traslazione sull'asse x
y = f(x)+a: Traslazione sull'asse y (-b destra, +b sinistra)
y = |f(x)|: Riflesso sull'asse x
y = f(|x|): Riflesso sull'asse y
y = -f(x): Simmetria rispetto all'asse x
y = f(-x): Simmetria rispetto all'asse y
y = -f(-x): Simmetria rispetto all'origine
y = f(x): Inversa

Numeri complessi

Definizioni e proprietà

i = √-1
z = a+ib
|z| = √(a²+b²): Modulo di z
"Razionalizzazione" del denominatore: z = a-ib
|z - z'|: Distanza
z = |z| · (cos(σ) + i sin(σ))
z = |z| · e^iσ con σ = arctan(b/a)
z = Re(z) + i·Im(z) → (Im(z) = b)
arctan(α) = 1 / tan(α)

Sviluppi notevoli

Taylor

cotan(α) = cos(α) / sin(α)
tan(α) = sin(α) / cos(α)

Studio di una funzione

Limiti e continuità

- Dominio
Radici: √f(x) = ± f(x) se n pari → f(x) ≥ 0
Frazioni: denominatore ≠ 0, logaritmi: argomento > 0
- Segno f(x) ≥ 0
Continuità e derivabilità
lim f(x) = lim f(x) = L
lim f'(x) = lim f'(x) = L

Massimi e minimi

f'(x) = 0 → Disegno rette con segni
Trovare coordinate sostituendo nell'equazione

Crescenza e concavità

f'(x) ≥ 0: Crescenza
f''(x) ≥ 0: Concavità

Simmetrie

lim f(x) = f(x₀) quando x → x₀
f(x) = f(-x) → Simmetrica rispetto all'asse y, pari
f(x) = -f(-x) → Simmetrica rispetto all'origine, dispari

Metodi e confronti

Limiti e asintoti

- Intersezione assi (y=0, x=0)
L'Hopital (0/0 o ∞/∞)
lim f(x)/g(x) = f'(x)/g'(x)
Limiti agli estremi del dominio

Confronto asintotico

lim f(x) = ±∞ quando x → ±∞
L = 0 e b C → a C
lim a_n/a_n+1 = L quando x → x₀
lim f(x) = ±∞ quando x → ±∞
L = ∞ e b D → a D
lim f(x)/x = M
lim (f(x) - Mx) = Q

Serie numeriche e potenze

Convergenza delle serie

∑ a_n → Sostituzione con t
Trinomio particolare
L = n → R = 1/L: Raggio di convergenza
Serie geometriche ∑ b_n (-R, R)
L = ∞ → R = 0

Trinomio di Newton

(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² – b³
C: -1 ≤ b ≤ 1 in 1/(1-b)