Formulario di analisi matematica 2

Matrice hessiana

Matrice hessiana: Df x > 0 Hf semidefinita positiva: , guardare la traccia (A + C) det Hf ≥ 0: Se basta controllare il segno di A + C

det Hf < 0: Se Hf non è definita det Hf Se si considerano i minori: dim > 2

• Det A > 0: A è definita
• Det A < 0: per i minori dispari Det A > 0: per i minori pari se e solo se A è definita

Massimi e minimi liberi

∇f(x) = 0 Dove è punto stazionario 0

• H definita positiva: allora x è minimo locale stretto
• H non è definita: allora x è un punto di flesso
• H definita negativa: allora x è massimo locale stretto

Estremi vincolati

1. Vincolo in forma implicita: L(x, y, λ) è punto stazionario se ∇L = 0
   • Sostituire i punti in f e trovare i massimi e minimi assoluti
2. Ricerca di massimi e minimi sulla frontiera
   • Punti stazionari interni: ∇f(x, y, λ) = 0
   • Punti stazionari vincolati su tutte le equazioni del vincolo
   • Su punti angolosi del bordo (intersezioni tra le linee del vincolo)
3. Caso R: L(x, y, z, λ)
   • Punti stazionari con ∇L = 0
   • L(x, y, z) = f(x, y, z) - c, per curve
   • Trovare massimi e minimi e sostituirli nella funzione f

Area e baricentro

• Area: ∫∫ dx dy
• Baricentro: ∫∫ x dx dy / A

Cambio di variabili

• f(x, y) = ∫∫ f(ψ, ρ) det J ρ, cambio di variabili: ψ

Coordinate polari, cilindriche e sferiche

1. Polari: x = ρ cos θ, y = ρ sin θ
2. Cilindriche: x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, z = z