Formulario Completo per l'esame di Metodi e Modelli Matematici della Fisica (Analisi Complessa+Funzionale)

Operazioni con i numeri complessi

( (p 2 2R = x = R cos θx + y−iθiθ 2≡ ≡ − · |z|x + iy = Re z̄ x iy = Re z z̄ =Bz B B B By y = R sin θθ = arctan xn n inθ n= R e = R (cos nθ + i sin nθ)Bz √ √√ θ θconi (θ+2kπ)n n ≤ ≤ −n = z , z , ..., z z = + i sin (1 k n 1)z = Re R cosB n 1 2 k k k kLn 1 1−iz −izz x+iy x iz iz −(z) = ln(|z|) + i(θ + 2kπ) e = e = e (cos y + i sin y) cos z = (e + e ) sin z = (e e )B B B B2 2i 1 z + i LnLn Lnpp 2 2− −i ± ± −± + 2kπ arctan z =z 1 + 2kπ arcsin z = iz 1 zarccos z = z + BBB −2i z i

Funzioni analitiche

2 2∂ u∂ u , allora è parte reale di una funzione analitica Se hai una funzione tale che 2• ∇ ≡ + = 0 u f = u(x, y) + iv(x, y)u(x, y) u 2 2∂x ∂y. Z Z∂u ∂ucost oppure cost−v(x, y) = dx v(x, y) = + dy∂y ∂x

Integrale lungo spezzata

Integrale lungo integrale lungo spezzata da a :• ≡γ z z1 2yz x ZZ Z Z 22 2 + i f (iy)dyf (z)dz = f (z)dz = f (x)dx yγ z x 11 1 {z }| | {z }z=x, dz=dx z=iy, dz=idy

Se circonda singolarità, spezza la curva in e :• γ γ γ1 2Z Z I [integrale lungo spezzata] Xf (z)dz = f (z)dz + f (z)dz = + 2πi Res(f, z )jγ γ γ1 2Il verso positivo è quello antiorarioantiorario.zZ 1 12 z

Relazioni utili: Ln Ln 2− − −dz = ( (z b) (z a))B − − − z(z a)(z b) b a 1z 1

Studio singolarita'

Sviluppo in serie di Laurent centrata in (singolarità):• f z0 termini è singolarità eliminabile →0 z−1 0+∞+∞ se la parte principale ha termini è un poloXX X nn n −− − →c (z z )+f (z) = c (z z ) = c (z z ) n zn 0n 0 n 0 0termini è singolarità essenziale−∞ −∞ 0 ∞ → z 0| {z }{z }| parte regolareparte principale

Ordine polo: è l'esponente più alto della parte principale. Se Laurent è difficile, calcola il limite in :• z0è singolarità eliminabile →l z0 è un polo|f ∞ →lim (z)| = z 0z→z0 è singolarità essenziale 6 ∃ → z 0

Ordine polo: è il più piccolo valore di per cui p− 6p lim f (z)(z z ) = l = 00z→z0

Può essere utile usare il teorema de l'Hopital: ponendo , svolgo il limite p−z z = t lim t f (t + z )0 t→0 0

Ordine polo: se è del tipo e se è uno zero di ordine per , è un polo di ordine per .h(z) ⇒f z p g z p f0 0g(z)

Calcolo residui

Calcolo Residui:• 1. della serie di Laurent in (utile per singolarità essenziali);Res(f, z ) = c z−10 0

2. Se in ho un polo di ordine ,z n0 n−1d1 pern− ⇒ −(f (z)(z z ) ) n = 1 Res(f, z ) = lim f (z)(z z )Res(f, z ) =0 0 0 0n−1 z=z−(n 1)! dz z→z0 0

3. Se è un polo semplice per e è del tipo h(z) h(z )⇒ 0z f f Res(f, z ) =0 0 0g(z) g (z )0

4. Residuo all'innito: n 1 1 (relazione utile quando è difficile trovareX∞) −∞) f , 0 Res(f, = Res(f, z )Res(f (z), = Res i il residuo di una certa singolarità)2z z i=1

Per funzioni del tipo: studia separatamente ez−π/2 π π• ⇒ ∈+ kπ (k Z)cos z 2 2Se sono poli di ordine è un punto di accumulazione per poli di ordineπ ∞+ kπ n, z = n.2

Serie di potenze

Sviluppare in serie di Laurent in :• z0(1) vedi in che dominio è richiesto (se o ), (2) raccogli e isola la parte con , (3) usa serie note.|z − | −z < a > a (z z )0 0

111 uso la serie:in : conX X2n n−|z| − |z|= z f =z = 0, < 1 f = = zEs. < 102 2− − −z 1 1 z 1 z |z−1|<2z }| { n 1 1 1 1 1 1 (−1)

in : X n−1−|z − (z 1)Es. z = 1, 1| < 2 f = = = =02 n+1− − − − − −z 1 (z 1)(1 + z) (z 1)(2 + z 1) z 1 2 1 + (z 1)/2 2

Calcolare raggio di convergenza

Calcolare Raggio di convergenza :• Ra 11 criterio radice:criterio rapporto: n+1 pn |a |= lim = lim nR a Rn→∞ n→∞n

Relazioni utili: n n n 1 1k nn+1 n k−−−−→ −−−−→+ 1)! = (n + 1)n! (n + 1) e == (n + 1)(n + 1) 1+B(n B B B n+1n n +1 en→∞ n→∞n

Discutere convergenza della serie

Discutere convergenza della serie:• converge puntualmente solo in →0 z0 converge puntualmente converge uniformemente inR = ∞ → ∀z ∈ −[z k, z + k], k > 0C, 0 0converge puntualmente in converge uniformemente in , non converge in |z − | − |z − |→ z < l, [z k, z + k] k < l z > ll 0 0 0 0

Criterio di Abel:-Se la serie converge puntualmente in , la serie converge uniformemente in− −R −z z = [z R, z + R),0 0 0-Se la serie converge puntualmente in , la serie converge uniformemente in− −z z = +R (z R, z + R],0 0 0-Se la serie converge puntualmente in , la serie converge uniformemente in− ±R −z z = [z R, z + R].0 0 0(Devo vedere manualmente cosa succede in e )− −R −z z = z z = +R0 0

Integrali coi residui

+∞ZIntegrali del tipo: con continua su• I = f (x)dx f R−∞ +RZI ZConsidero X≡ f (z)dz + lim f (x)dx = 2πi Res(f, z )f (z)dz jR→∞1 −RCγ R2 | {z }| {z }dimostro che tende a 0 I}| {z Riassumendo:

πZ Z Z1 π -pongo|f |dz| ≤ −−−−→f (z)dz < (z)| Rdθ = 0 iθ iθz = Re , dz = iRe dθk k−1R R R→∞1 1 -scrivoC C 0 π iθ iθRR R i Re f (Re )dθ2 2 0-uso disuguaglianza di Darboux

2πZIntegrali del tipo:• I = f (cos θ, sin θ)dθ0 1 −1cos θ = (z + z )2 I f (z) lungo la circonferenza di raggio (dove calcolo i residui).Pongo iθ −11 ⇒ −i−→ − I = dz R = 1z = Re sin θ = (z z )2i zidz −dθ = z

∞ZIntegrali del tipo: con continua suα +• I = x f (x)dx f , (0 < α < 1)R0 n2πi-Metodo veloce: verifica che x→∞ Xα+1 α−−−−→ ⇒x f (x) 0 I = Res(z f, z )j2παi−1 ex→0 j=1

-Metodo completo (consigliato): nR 0I Z Z Z Xα α 2παi αα≡z f (z)dz lim x f (x)dx + z f (z)dz + e lim x f (x)dx = 2πi Res(f, z )jR→∞ R→∞C Rγ 0 R j=1| {z } | {z }| {z } 2παiI −e II

2 πZ 2πDimostro che pongo scrivo uso Darbouxiθ iθ α+1 iθ(α+1) iθ→ → |I | −−−−→I = 0, z = Re , dz = iRe dθ, i R e f (Re )dθ, < 02 2 k−α−1R R→∞0n n2πiX X2παi α⇒ − ⇒I e I = 2πi Res(f, z ) I = Res(z f, z )j j2παi−1 ej=1 j=1

+∞+∞ ZZ oppureIntegrali del tipo:• (α > 0)I = f (x) sin &a