Formulario Analisi Matematica 1, prof. Papalini

Scritto analisi 1

Successioni

1. Se \(a_n\) è convergente \(\Rightarrow a_n\) è limitata. Es: \(a_n = \frac{1}{n}\)

2. Se \(a_n\) è limitata \(\Rightarrow\) non è detto che converga (può oscillare). Es: \(a_n = (-1)^n\)

3. Se \(a_n\) è monotona \(\Rightarrow a_n\) è regolare ⟹ diverge ^– converge ⟹ ha limite. Es: \(a_n = \frac{1}{n} \to 0\), \(a_n = \frac{n^2}{n^2} \to +\infty\)

4. Se \(a_n\) è regolare \(\Rightarrow\) non è detto che sia monotona. Es: \(a_n = \frac{(-1)^n}{n} \to 0\) ha oscilla!

5. Se \(a_n\) è divergente \(\Rightarrow\) non è detto che sia monotona. Es: \(a_n = n + (-1)^n \to +\infty\) ha oscilla!

• Converge ma non è monotona. Es: \(a_n = \frac{(-1)^n}{n}\)
• Converge ed è monotona. Es: \(a_n = \frac{1}{n}\)
• Diverge ed è monotona. Es: \(a_n = n^2\)
• Diverge ma non è monotona. Es: \(a_n = n + (-1)^n\)
• Limitata che oscilla. Es: \(a_n = (-1)^n\)
• Illimitata che oscilla. Es: \(a_n = n \cdot (-1)^n\)

Forme indeterminate

\(+\infin; - +\infin; = 0\)

\(-\infin; + \infin; = +\infin;\)

\(0 \cdot +\infin;\)

\(\frac{0}{0}\) = ?

\(\frac{\infin;}{\infin;}\) = ?

1. \(lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{n})^n = e\) approssimato a 2.7

Confronto tra due successioni

\(a_n \to \infin;\) \(b_n \to \infin;\)

\(\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = k \ne 0 \Rightarrow a_n\) e \(b_n\) hanno stesso ordine

\(\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = 0 \Rightarrow b_n\) ha grado maggiore di \(a_n\)

\(\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \infin; \Rightarrow b_n\) ha grado minore di \(a_n\)

\(\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = \infin;\) ⟹ i due limiti non sono confrontabili

Criterio del rapporto (successioni)

\(a_n > 0 \forall n \in N\)

\(a_{n+1}/a_n \to l\) ⟹ l

• L = 1 ⟹ cambio strada
• L > 1 ⟹ \(a_n\) diverge a \(+\infin;\)

Tabella degli infiniti

\(log n\)

Scritto analisi 1

Successioni

1. Se an è convergente → an è limitata. Es: an=1/n

2. Se è limitata → non è detto che converga (ad oscilla). Es: an=(-1)ⁿ

3. Se an è monotona → an è regolare. Es: an=1/n→0, an=n²→+\infin;

4. Se an è regolare → non è detto che sia monotona. Es: an=(-1)ⁿ/h→0 ha oscilla

5. Se an è divergente → non è detto che sia monotona. Es: an=h+(-1)ⁿ→+\infin; ha oscilla

• Converge ma non è monotona. Es: an=(-1)ⁿ/n
• Converge ed è monotona. Es: an=1/n
• Diverge ed è monotona. Es: an=n²
• Diverge ma non è monotona. Es: an=n+(-1)ⁿ
• Limitata che oscilla. Es: an=(-1)ⁿ
• Illimitata che oscilla. Es: an=(-1)ⁿ·n

Forme indeterminate

+\infin; − \infin; = ?

−\infin; + \infin; = ?

+\infin; · 0 = ?

−\infin; · 0 = ?

0/0 = ?

\infin;/\infin; = ?

\infin;⁰ = ?

0⁰ = ?

\infin; − \infin; = ?

N.B. Se fosse zero il risultato sarebbe zero; tuttavia se il numero tende a zero ho una forma indeterminata

Confronto tra due successioni

an → \infin; bn → \infin;

lim n→+\infin; an/bn = k > 0 → an e bn hanno stesso ordine

→ bn ha grado maggiore di an

→ an ha grado minore di an

→ I due limiti non sono confrontabili

Criterio del rapporto (successioni)

an > 0 ∀ n ∈ N

lim n→+\infin; an+1/an = l

• L = 1 → cambio strada
• L > 1 → an diverge a +\infin;

Tabella degli infiniti

log n k<qⁿ<n!_nⁿ

N.B. lim n→+\infin; (1+1/n)ⁿ = e ≈ 2.71

Serie

^\infin;∑a_n = lim S_n

S → →\infin; → la serie diverge a +\infin;

S → ↔ → → la serie converge a S

∑ _n=1 a_n= lim S_{n n→+\infin;}()

a_n +\infin;

Se Serie geometriche ^\infin;∑a_n = lim S_{n n→+\infin;}→ → → se q= d Comportamento

Se una serie conver

Se a_n non tende a zero → la serie non converge → Es: a_n = n

Se a_n Criteri(t.p.)

Criterio del confronto

_n = lim T_n = T_{n n→+\infin;}

Serie armonica

^\infin;∑1/n^p

p = 1 → la serie diverge

0&l

Serie a segno alternato

1° Funzioni

Infiniti

— <x^x<e^x<9^x

Infinitesimi

— Infinitesimi dello stesso ordine