Formulario Analisi 2

Serie di Fourier

1. Vedo se posso disegnarla

   • vedo se è sviluppabile in S.d.F, ovvero se la prolunga è "utile"
   • capisco se è pari o dispari.
   • negli intervalli a vetri, [0,2T], il confronto lo faccio con
   • [−T,T].

2. È pari o dispari?

   Pari Dispari bk=0 (a₀, a_k = 0)

3. Trovo _a0 in [0,2π]

   • a₀ = (1/π)∫₀^2πf(x)dx
   • se [0,T] , 2/T ∫_-1/2^1/2f(x)dx

4. Trovo a_n

   • in [0,2π]
   • a_n = (1/π)∫₀^2πf(x)coskx dx
   • se[0,T] a_k = (2/T)∫_-1/2^1/2f(x)coskx dx

5. Trovo b_k

   • [0,2π] b_k = (1/π)∫₀^2πf(x)sinkx dx
   • se [0,T] b_k = (2/T)∫_-1/2^1/2f(x)sinkwx dx
   • Sfrutto simmetria (eventualmente) di f(x)

6. Scrivo la serie di Fourier

   y/2 + ∑ a_kcoskx + b_ksinkx (k=1 ∞)

7. Deduce una serie sfruttando un "x" e se:

   • f(x) è sviluppabile → la serie dedotta converge nella punto f(x)
   • f(x) non è sviluppabile → la serie converge a metà attorno
   • f(c_x)=f₋(x) + f₊(x)
   • (x) è un punto di dis.

Osservazioni durante il calcolo di a₀, a_k, b_k

• Sfrutto dove possibile formule trigonometriche
• cos(2a)=2cos²a−1 _{sin=2sin²−(1−cos)}
• Se trovo forma a somme differenti poi sfrutto dove "viaggiano" le serie, se viaggia nella pari k=2k e partea da 1; se su dispari k=2k±1ac2k=0
• Se mi trovo nel sum in cui intergro sum(k−1)=bk±1
• altramenti avviene integr mi pues(K−1) = 0 dimostratore
• poi però faccio k preso kos k e trovo il famoso a_kb_i collegato alla sotto formula
• sin k^π in (2k+1)π=0 (−1)^k±1

Serie di Fourier

1. Vedo se posso svilupparla
2. È pari o dispari?
   • Pari: b_k = 0
   • Dispari: a₀, a_k = 0
3. Trovo a₀ in ^2π ∫ ₀ f(x) dx
4. Trovo a_n
   • Se ^T ∫ _-T f(x)coskx dx
5. Trovo b_k
   • Se ^T ∫ _-T f(x)sinkx dx
6. Scrivo la serie di Fourier
7. Dedurlo una serie sfruttando un "x" e se:

• f(x) è sviluppabile
• La serie dedotta converge nel punto f(x)
• f(x) non è sviluppabile
• La serie converge a metà altura f(x₀)
f(x) è un punto di discontinuità

Osservazioni durante il calcolo di a₀, a_k, b_k

• Sfrutto dove possibile formule trigonometriche
• cos(a)+2 = cos(a)
• If se trovo forma un segno alternato poi studio dove "viaggia" la serie, se viaggia:
• Se mi trovo nel caso in cui insegno sin(k-1) = b_k+1
• a(n+(-a_n)) = a_n-1

CURVE

ⁿsima:

• Continue - se le componenti sono continue nell'intervallo.
• Regolari

1. ϕ ∈ C¹(I) se le componenti sono ∈ C¹(I)
2. ϕ' t separata, se disegnando vedo che si incontrano in tutti quei punti t ∈ I (si incoccia)
3. ϕ'(t) : (x'₁(t),...,x'_m(t)) ≠ (0,...,0) ∀t ∈ Ī oppure... se || ϕ'(t)|| = √₁+x'_m(t) ≠ 0 ∀t ∈ Ī (non si deve annullare nei punti interni)

• Lunghezza di una curva (deve essere regolare)

L(ϕ) = ∫_a^b || ϕ'(t)|| dt

• Tipologia di curve

• Curve polari

β = g(θ) θ ∈ I

1. Per la regolarità curva 3): || ϕ'(θ)|| = √_g'(θ)+g(