Fondamenti di Meccanica razionale

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Tutto il programma di fondamenti di meccanica razionale con esercizi, per l'esame c'è tutto basato su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Siboni …

Esame Fondamenti di meccanica razionale

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Siboni Stefano

Università Università degli Studi di Trento

A.A. 2021-2022

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Università degli studi di Trento

Facoltà di ingegneria civile

Anno 2^o semestre 2^o

Meccanica razionale

Prof. Siboni Stefano

Riassunti A2S2 05 Meccanica Razionale

Università degli studi di Trento

Facoltà di ingegneria civile

Anno 2^o semestre 2^o

Meccanica razionale

Prof. Siboni Stefano

Operazioni fondamentali

Prodotto scalare R^k x R^k => R, a · b = |a| |b| cos θ
Prodotto vettoriale R³ x R³ => R³, a x b ∈ R³

Modulo: |a x b| = |a| |b| sin θ
Direzione: a ⊥ a x b ⊥ b
Verso: regola della mano destra

Proprietà particolari

ANTI COMMUTATIVA: a x b = -(b x a)

NON vale la proprietà associativa (a x b) x c ≠ a x (b x c)

Identità notevoli

Prodotto misto o triplo: a x b · c = b x c · a = c x a · b (circolante)
Identità di Lagrange: a x (b x c) = (a · c) b - (a · b) c

Matrice dei coseni direttori (cambio di terna cartesiana)

1^a TERNA: Ω e¹₁ e¹₂ e¹₃

2^a TERNA: Ô e²₁ e²₂ e²₃

P R·O·P = -O P + P·O

∑_i eⁱ_i = ∑_j eⁱ x c_j^e_j

i = i', j = j', 1, 2, 3

Moltiplicando per e_j: a dx e a sx e^j = Σ c_ji'^e e'_i'

Deriva e₁·e = eⁱ_j = matrice dei coseni direttori

[ e₁ e₂ e₃ ] = [ A_ij ]

NB: A_ij è una matrice ortogonale

Matrici ortogonali

Una matrice si definisce ortogonale se A^t A = I_d, quindi A^-1 = A^t

(A^t A)_ij = ∑_k [A^t_ik · A_kj] = ∑_k [(e^i' x e^k) (e^k · e^j')]

d_ij = δ_ij (delta di Kronecker)

NB: (eⁱ · e^k) e ' = la componenti e_i' x e_k sono definite da e^k' pertanto determinano transizione esistente

NB: siccome A^t A = I_d allora det(A^t A) = det(Id)=1 dunque usando il teorema di Binet det(A) det(A^t) det(A) = det(A) det(A) = [det(A)]² = 1

ALLORA det(A) = ±1

Sistemi di vettori applicati

S = { ( P_i , v_i ) | P_i ∈ E³ , v_i ∈ ℝ² , i = 1, 2, ... n }

Risultante: R = Σ v_i

Momento di S rispetto ad un polo

O ∈ E³ è il polo del momento polare

M_o = Σ ( P_i - O ) ^ v_i

Il momento è dipendente dallo scelto del polo

Formula del cambiamento di polo

M_o' = ( ∑ ( P_i - O + O - A ) ^ v_i) = ∑ ( P_i - O ) ^ v_i + ∑ (O - A) ^ v_i

M_o' = M_o + ( O - A ) ^ R

Osservazione

Se R = 0 allora M_o = M_a ∀A ∈ E³ il momento non dipende dallo scelto del polo.

Momento assiale di S

M_o = M_OA = M_o ^ R̂

Questa formula è ben posta poiché se cambiamo il punto di applicazione sulla retta

M_a = M_o + ( O - A ) ^ R allora M_A ^ R̂ = M_o ^ R̂ = M_o ^ R̂

Asse centrale di S

Teorema dell'asse centrale

Se R ≠ 0 allora ∃! σ={A ∈ E³ | M_a ^ R = 0}

∃!σ è una retta parallela a R

∀A,B ∈ σ M_a = M_b

A - O = R^ R̂ M_o + α R̂

La parametrizzazione di σ

A - O = _{R̂·M_o}/^|R̂|² + α R̂ ∀A,B ∈ σ M_a = M_b

M_A = M_B + (( B - A ) ^ R̂ non sicura ( B - A ) ^ R allora M_A = M_B

DimM_A ^ R |= 0 allora λ = M_o + ( O - A ) ^ R = M_o + R̂ ^ ( A - O )

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