Fondamenti di matematica

Numeri

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Definisco un'unità di misura e le riposto sulla retta.

Base 10 → Base 3.

E.g. 1256₍₁₀₎ → 1; 0; 2; 1₍₃₎

• 3 : 125 = 10 → 125
• 3 : 42 → 42
• 3 : 20 → 14
• 3 : 4 → 4
• 3 : 10 → 0

Problemi con i numeri naturali

Problema che si pone con i numeri naturali: alcune equazioni non ammettono soluzioni.

E.g. x + 2 = 4 → non ha soluzioni nei numeri naturali positivi.

• 0
• 1
• 2
• 3
• 4

x + 2 = 4 → la soluzione esiste solo nei numeri negativi.

x = -2

Estensione:

x - x = 0 → ogni soluzione in base a ciò che ho importato nei numeri N.

Scrittiamo in grigio i numeri N | (razionali) p/q + p: intero, q = 1/unicità.

Notazione 1/3 (div).

Numeri razionali

Dove sta 5? Tamara 5 e 3 poi partendo 4 è rapporto tra le parallele.

x _y

x = ⁵/₃

9x - p = 0

x = ^p/₉

Unicità dei numeri

Numeri.

Unicità dei numeri.

(Ciascun numero è unico e si rapporta sulla retta ai).

Base 10 → Base j.

• 8: 1236 → 1: 135
• 8: 10 = 123
• 8: 3: 10 = 12
• 8: 2: 10 = 1
• 8: 1: 10 = 0

0,1

Problemi che si pone con i numeri naturali: alcune equazioni non ammettono soluzioni.

Eg. x + 2 = 4 non ha soluzioni nei numeri naturali (positivi).

La soluzione esiste solo nei numeri negativi.

x = -2

Fissazione: * x = 0 è unica soluzione → base a ciò che ha imparato nei numeri N.

Entrano in gioco i numeri R (razionali) p/q p: intero, q: è il medesimo naturale ≠ 0.

Numeri razionali e operazioni

Numeri razionali.

Dove sta 5/3? Unisce 5 e 3 poi porto da 1 e faccio parallelo.

x = 5/3

9x - p = 0

x = p/9

I razionali contengono gli interi.

Prodotto

_p1/_{q1 p2}/_{q2 p1·p2}/_q1·q2

Somma

_p1/_q1 + _p2/_q2 = _{p1(q2) + p2(q1)}/_(q1·q2)

_p1/_q1 ? _{p1·q2 che: q1 ·p2}

m ≤ m

Integers: ∈ ^{2 3}(₋₃) ∄ (₋₂) ³x ∄ ₋₃

5/3 ∄∢^641/2 _4/2⁸

x + n = 0

Equivalenza di scritture

Numeri razionali: equivalenza di scritture.

Se n è pari, il valore che assume la funzione nel punto x e nel punto -x è lo stesso.

Dal punto di vista grafico, c'è una simmetria rispetto all'asse delle y.

Funzione pari:

f(x) = xⁿ se n è pari, f(-x) = f(x)

Quindi una funzione è pari se f(-x) = f(x).

Funzione dispari:

f(x) = xⁿ se n è dispari, f(-x) = -f(x)

Quindi una funzione è dispari se f(-x) = -f(x).

Per concludere:

Una funzione f tale che f(-x) = f(x) si chiama funzione pari, e il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse verticale.

Una funzione f tale che f(-x) = -f(x) si chiama funzione dispari, e il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine.

Relazione d'ordine e periodicità

I numeri razionali hanno una caratteristica che i numeri interi non hanno: tra il 4 e il 5 loro ci sono altri numeri interi, fra 5 e ¼ (per esempio) c'è un quantitativo di altri numeri perché sono vicini.

Basta mettere all'interno comune.

⅐ è più grande di ⅓ (rispetto ai numeri teorici, ma si nota come) q è più piccolo di 24 4 12.

Per conclusione, in mezzo ai 2 numeri razionali, ne posso sempre trovare un altro.

Relazione d'ordine, per sapere quale razionale è più grande:

m _q => m => p => q → 5 q - 3 3/₄ 3 ¹/₂ => quindi 2 q - 3

Periodicità: 27 14 9 = 7, 9 28 51 4 235714.

Antiperiodo: ¹⁰/₉ 2 85 7 14.

Parte intera. Periodo.

I numeri razionali si possono scrivere in questo modo. Vale anche il viceversa.

Sapendo di avere solo il numero 1, 9 235714 c'è un modo per scrivere sotto frazione: si prosegue tutta la sequenza escludendo la virgola, si toglie la parte interna del periodo (in questo caso 19) e si divide per tanti 9 quanto è lungo il periodo (e tanto 0 quanto è lungo e antiperiodo).

1923814 - 19 999990 27 14

I numeri razionali sono tutti periodici, tranne 0,9 periodico = 1:

È più grande 0,3 o 0,3?

0,3 = 0,3

0,4 o 0,4?

0,4

0,9 o 0,9?

0,9

1 o 0,9?

0,9 = 9 · 0,1 = 9 · 1/9 = 1

Se prendo nove (9) fa scattare immediatamente alla cifra "successiva".

0,9 = 1.

Numeri reali

L'unico numero non razionale, è quello di Liouville.

0,10100100010000100000...

nx - m = φu ═ intero ≠ φ la soluzione è x = u/n, ma se l'equazione diventa di 2°?

u ═ intero

X² = 2 → (u/n)² = 2 quindi: u² = 2n²

Un numero intero può scomporsi in fattori primi.

n = 2²·3·5·...·pⁿ e lo stesso vale per n.

Quindi:

u² = 2 · n → Soluzione razionale.

x² = 2 → u & n indivisibile con numeri razionali. Ciò significa che quest'ultimo non basta.

Un numero razionale si scrive come:

q₁, q₂, q_n p₁p₂p₃ ma esistono punti sulla retta che non corrispondono ai razionali: serve quindi il piano cartesiano.

Numeri reali.

Si definisce numero reale un qualsiasi allineamento decimale del tipo q₁, q₂, q_n, a₁ (all'infinito) con q relativo e a_i interi naturali ∈ ℕ.

x² - ρ = φ → Così è indivisibile.

Però x² + 2 = φ ma la soluzione dell'insieme dei reali, entrano in gioco i numeri complessi: scoperti da Evariste Galois:

a ∈ ℝ + a ± b con a, b ∈ ℝ → i² + 1 = 0