Fondamenti di Automatica

Problemi e sistemi di controllo

1. Problemi di controllo

Processo e variabili principali

I problemi di controllo consistono nell’imporre un funzionamento desiderato a un processo assegnato.

• Processo: si fa riferimento all’oggetto sul quale il problema è posto.
• Funzionamento desiderato: è espresso dalla richiesta che l’andamento nel tempo di alcune variabili del processo, variabile controllata, coincida con quello di altre variabili pre-assegnate, segnale di riferimento.

Variabile controllata = segnale di riferimento.

L’obiettivo di un problema di controllo si può sintetizzare con per tutto l’intervallo di tempo in cui il funzionamento del processo è di interesse. Per raggiungere l’obiettivo si suppone di poter agire sul processo manipolando altre variabili scalari, che formano la variabile di controllo.

Incertezza

Nella realtà le variabili controllate non dipendono solamente dalle variabili di controllo, ma esistono altre grandezze che non sono manipolabili che influenzano il comportamento del processo.

Le variabili che influiscono sul processo dall’esterno, ma che a differenza di quelle di controllo non si possono manipolare, vengono raccolte nel vettore disturbo.

Tempo

Tutte le variabili che intervengono in un problema di controllo sono funzioni del tempo. Esso può essere di tipo continuo, discreto, cioè descritto da una variabile reale che si indica con la lettera t, oppure cioè descritto da una variabile intera, che si denota con la lettera k.

2. Sistemi di controllo

La determinazione dell’andamento della variabile di controllo viene compiuta da un organo detto controllore, regolatore. Il complesso costituito dal processo e dal controllore è denominato sistema di controllo.

Specifiche di progetto

L’obiettivo di progetto prevede la perfetta identità tra la variabile controllata e il segnale di riferimento; esso è di fatto irraggiungibile. Nella pratica si può ritenere che un problema di controllo sia risolto se l’errore, errore = segnale di riferimento - variabile controllata, definito come soddisfi un insieme di requisiti/specifiche che esprimono la necessità che esso risulti “accettabilmente piccolo” in tutte le condizioni di funzionamento di interesse.

Controllo in anello

Quando il controllore possiede informazioni solo sul segnale di riferimento e sul disturbo, esso si dice in anello aperto o ad azione diretta.

Quando il controllore possiede informazioni, oltre che sul segnale e sul disturbo, anche sulla variabile controllata in uscita, esso si dice in anello chiuso o in retroazione.

Strumentazione di processo

Affinché un processo possa essere connesso a un controllore, è indispensabile che esso sia corredato da un’adeguata strumentazione che lo predispone al controllo.

• Attuatore: ha la funzione di convertire le variabili prodotte dal controllore nelle variabili manipolabili che sono relative al processo.
• Trasduttori: hanno la funzione di misurare le grandezze fisiche delle variabili controllate e del disturbo, per poi renderle disponibili al controllore.

3. Modellistica matematica

Riformulazione dei problemi di controllo

Per affrontare in modo razionale un problema di controllo è molto conveniente darne prima di tutto una riformulazione in termini puramente matematici.

Procedendo in questo modo, i problemi di controllo, posti originariamente nel “mondo della realtà”, vengono quindi riformulati nel “mondo della matematica”, dove è molto più facile riconoscere profonde similitudini formali tra problemi corrispondenti a realtà molto diverse tra loro.

Si può allora stizzire una teoria del controllo, detta automatica, che serve ad affrontare in termini matematici astratti tutti questi problemi, per arrivare alla determinazione dei modelli dei controllori.

Problemi di sintesi

La soluzione di un problema di controllo consta di tre passi:

• 1. La riformulazione matematica del problema di controllo.
• 2. La determinazione del modello matematico del controllore.
• 3. La realizzazione del controllore.

Il secondo passo, denominato problema di sintesi/progetto, prescinde in larga misura dalla realtà fisica del problema, che viene invece confinata nel primo e nel terzo.

Problema di analisi

Un problema di analisi nasce invece quando si vogliono accertare le prestazioni di un sistema di controllo completamente specificato anche per quanto riguarda il modello del controllore.

Ciò è indispensabile al termine di un progetto, prima di procedere alla realizzazione e all’installazione sull’impianto, per verificare che siano soddisfatte tutte le esigenze.

Sistemi dinamici a tempo continuo

1. Concetti fondamentali

Variabili di ingresso, stato e uscita

Un sistema dinamico a tempo continuo costituisce un modello matematico di un oggetto fisico il quale interagisce con il mondo circostante tramite due vettori di variabili dipendenti dal tempo, assunto reale e indicato con il simbolo t.

• Variabili di ingresso u, rappresentano le azioni che vengono compiute sull’oggetto in esame da agenti esterni che ne influenzano il comportamento (m = num. variabili ingresso).
• Variabili di uscita y, rappresentano quanto del comportamento dell’oggetto stesso è di interesse (p = num. variabili uscita).

Per descrivere compiutamente l’oggetto da modellare è spesso necessario introdurre un terzo vettore di variabili, chiamate variabili di stato x, che descrivono la sua situazione interna (n = num. variabili stato).

Rappresentazione di stato

Introdotte le variabili, si può ora passare a descrivere la struttura delle equazioni che le mettono in relazione; un sistema dinamico a tempo continuo è costituito dalle equazioni:

• Equazione di stato: x(t) = f ( x(t), u(t), t ), che mette in relazione con l’ingresso le variabili che descrivono la situazione interna del sistema. Definisce in modo unico l’evoluzione dello stato per x(t) t>t0.
• Trasformazione d’uscita y(t) = g ( x(t), u(t), t ), che consente di determinare l’uscita ad uno specifico istante di tempo sulla base della conoscenza di tale situazione e dell’ingresso allo stesso istante di tempo. Definisce in modo unico l’evoluzione dell’uscita per y(t) t>t0.

2. Classificazione

Sistemi monovariabili e multivariabili (SISO e MIMO)

Si dicono monovariabili (Single Input Single Output) i sistemi dotati di una sola variabile di ingresso e di una sola variabile di uscita (m=p=1), mentre si dicono multivariabili (Multiple Input Multiple Output) gli altri.

Sistemi propri, strettamente propri

Se la funzione g non dipende dall’ingresso, cioè se la trasformazione di uscita si può scrivere nella forma y(t) = g ( x(t), t ), allora il sistema si dice strettamente proprio perché l’uscita dipende dall’ingresso non direttamente, ma solo attraverso lo stato. In generale il sistema si dice proprio.

Sistemi invarianti e varianti nel tempo

Si parla di sistema invariante nel tempo nel caso in cui le funzioni f e g non dipendano esplicitamente dal tempo, cioè risulti x(t) = f ( x(t), u(t) ) y(t) = g ( x(t), u(t) ), mentre se anche una sola delle funzioni dipende esplicitamente da t il sistema si dice variante nel tempo.

Sistemi lineari e non lineari

Quando le funzioni f e g sono lineari in x e u, cioè quando sia x(t) che y(t) sono combinazioni lineari delle varie componenti dei vettori x(t) e u(t), allora il sistema si può scrivere nella forma x(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t) y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t), dove le matrici A, B, C, D sono funzioni del tempo.

In questo caso il sistema si dice lineare, mentre se le equazioni del sistema non assumono la forma sopra riportata si parla di sistema non lineare.

3. Equilibrio

Per i sistemi invarianti nel tempo soggetti a ingressi costanti u(t) = ū sono di particolare importanza quei movimenti dello stato e dell’uscita che risultano anch’essi costanti nel tempo. Questi movimenti sono detti, rispettivamente, stati e uscite di equilibrio.

Gli stati di equilibrio devono soddisfare l’equazione x(t) = 0, cioè sono le soluzioni costanti nel tempo dell’equazione f ( x, u ) = 0.

Questa equazione può avere una sola soluzione, può averne tante oppure nessuna; in ogni caso, a ciascuna di esse corrisponde un’uscita di equilibrio calcolabile mediante la relazione y = g ( x, u ).

Uno stato di equilibrio è dunque uno stato in cui un sistema, sollecitato da un ingresso costante, permane indefinitamente se vi si trova in un qualunque istante di tempo.

Se al tempo t lo stato del sistema è x(t) = x, allora risulta anche x(t) = x per ogni t > t; quindi l’uscita rimane costante al valore y.

4. Stabilità

La nozione di stabilità considera le conseguenze sul movimento di un sistema di un’incertezza sul valore iniziale del suo stato, nell’ipotesi che gli ingressi siano fissi e noti. In pratica essa richiede che piccole perturbazioni dello stato iniziale rispetto ad un valore di riferimento provochino solo piccole perturbazioni sul movimento dello stato, eventualmente destinate ad annullarsi.

Stabilità dell’equilibrio

Per un sistema dinamico invariante nel tempo, si considerino un ingresso costante u(t) = u e un corrispondente stato di equilibrio x, detto nominale.

Si consideri anche un movimento dello stato x(t), detto perturbato, generato a partire ancora da u, ma da uno stato iniziale diverso da x.

• Uno stato di equilibrio x si dice stabile se per ogni 0, esiste tale che E 8 OO x per tutti gli stati iniziali che soddisfano E 11 511Xo E0 risulti per tutti i E te 0 IlHIIl X.

La proprietà di stabilità dell’equilibrio richiede quindi che il movimento perturbato rimanga “vicino” all’equilibrio nominale; scelta arbitrariamente piccola la massima distanza accettabile tra il movimento perturbato e l’equilibrio nominale, quest’ultimo è stabile se la condizione su tale distanza è rispettata, pur di prendere lo stato iniziale del movimento perturbato sufficientemente prossimo all’equilibrio nominale.

• Uno stato di equilibrio x si dice instabile se non è stabile.

L’instabilità di uno stato di equilibrio implica perciò che esistono perturbazioni arbitrariamente piccole dello stato iniziale che provocano l’allontanamento dello stato del sistema dall’equilibrio stesso.

• Uno stato di equilibrio si dice asintoticamente stabile se è stabile e inoltre Il11XIN 0Xfi.

La proprietà di stabilità è quindi rafforzata chiedendo anche che il movimento perturbato tenda all’equilibrio nominale per t a.

Stabilità del movimento

Per un sistema dinamico invariante nel tempo si considerino un ingresso u(t), uno stato iniziale x0 e il movimento dello stato x(t), detto nominale.

Si consideri anche un secondo movimento dello stato x(t), detto perturbato, generato ancora a partire da u(t) ma da uno stato iniziale diverso da x0.

• Un movimento x(t) si dice stabile se, per ogni, esiste tale che E Oso0x per tutti gli stati iniziali che soddisfano troll 511Xo E0 risulti per tutti i Il Fittile EXIN tao.

La proprietà di stabilità del movimento richiede quindi che il movimento perturbato stia “vicino” al movimento nominale; scelta arbitrariamente piccola la massima distanza accettabile tra il movimento perturbato e quello nominale, quest’ultimo è stabile se la condizione su tale distanza è rispettata, pur di prendere lo stato iniziale del movimento perturbato sufficientemente prossimo a quello del nominale.

• Un movimento x(t) si dice instabile se non è stabile.
• Un movimento x(t) si dice asintoticamente stabile se è stabile e inoltre il movimento perturbato tende a sovrapporsi al movimento nominale per a.

Sistemi lineari e stazionari a tempo continuo

1. Movimento

Si consideri il sistema a tempo continuo lineare, invariante nel tempo descritto da x(t) = A x(t) + B u(t) MeiriraE y(t) = C x(t) + D u(t) IRPYE.

Formula di Lagrange

Il movimento dello stato corrispondente all’ingresso u(t) e allo stato iniziale x(t ) = x0 è dato dalla seguente espressione, detta formula di Lagrange: teaeditto Bull deIt a.

Il corrispondente movimento dell’uscita è IteatoCea Bull DutchdeI c ty to.

Movimento libero e movimento forzato

Nei movimenti dello stato e dell’uscita del sistema, si può individuare un contributo dipendente solo dallo stato iniziale e uno dipendente solo dall’ingresso, dai quali il movimento complessivo si ottiene per somma.

Il contributo al movimento dello stato e dell’uscita funzione solo dello stato iniziale, cioè quello che si avrebbe se, a pari di stato iniziale, l’ingresso fosse nullo, si chiama movimento libero ed è dato da ealt.toItXlyoYLltICeAlttd.xoXFlHIl.

Il contributo al movimento funzione solo dell’ingresso, cioè quello che si avrebbe se, a pari ingresso, lo stato iniziale fosse nullo, si chiama movimento forzato ed è dato da tea Butt deto Itea Bull DutchdiYield C tto.

Principio di sovrapposizione degli effetti

Considerato un sistema lineare e stazionario, siano:

• y’ x’ e i movimenti dello stato e dell’uscita generati dall’ingresso u’ e dallo stato iniziale x’ 0.
• y’’ x’’ e i movimenti dello stato e dell’uscita generati dall’ingresso u’’ e dallo stato iniziale x’’ 0.

Allora per ogni coppia di scalari h e k, i movimenti dello stato e dell’uscita x’’’ y’’’ sono generati da:

• Ingresso: u’’’(t) = h u’(t) + k u’’(t).
• Stato iniziale: x ’’’ = h x ’ + k x ’’ 0 o 0.
• Sono x’’’(t) = h x’(t) + k x’’(t).
• Y’’’(t) = h y’(t) + k y’’(t).

Autovalori e modi

Abbiamo visto in precedenza come calcolare il movimento libero di un sistema lineare.

Nel caso in cui l’ordine del sistema sia n=1, e quindi A=a scalare, le formule del movimento libero dipendono dalla funzione esponenziale, mentre nel caso in cui n>1 è necessario analizzare la struttura dell’esponenziale di matrice eat.

Matrice diagonalizzabile

In molti casi, ad esempio quando gli autovalori della matrice A sono tra loro distinti, è possibile scegliere una matrice T in modo che la matrice della dinamica sia diagonale D T = Tsci AAD Ta i an.

Quando ciò accade il movimento libero dello stato e dell’uscita del sistema risultano eTÈ 4L XLIIICItXoTakit anni X , T , C.

Essi pertanto sono combinazioni lineari, con coefficienti dipendenti dagli elementi di 0 D, termini esponenziali detti modi edit.

Matrice non diagonalizzabile

Quando la matrice A possiede autovalori multipli, cioè quando non tutti gli autovalori sono distinti tra loro, può darsi che risulti impossibile renderla diagonale mediante un’opportuna trasformazione con T.

I modi che costituiscono i movimenti liberi dello stato e dell’uscita sono della forma r sit tit è reale see ditkt è Wit didi joiesen see complesso.

2. Equilibrio

Si vogliono ora analizzare le caratteristiche di un sistema lineare tempo - invariante per quanto riguarda le condizioni di equilibrio.

Assumendo costante e pari a l’.