Fisica Tecnica - trasmissione del calore

Definizione di conduzione

I corpi solidi sono caratterizzati da particelle contigue e moti virtuali senza spostamento di materia. Quando esistono gradienti termici non nulli, si osserva un flusso di calore perpendicolare alle superfici isoterme. Le linee di flusso in regime stazionario sono una costante. Le superfici isoterme e le linee di flusso formano il campo termico.

Studio del calore

Lo studio del calore permette di capire in quale direzione si trasmette il calore. Consideriamo un corpo solido omogeneo attraversato da un flusso termico:

dQ = λ ΔS ΔT

Quantità infinitesime:

dQ = - λ dS dr \(\frac{dT}{dn}\)

Il gradiente termico determina che la trasmissione del calore avviene verso temperature minori, contrariamente alla convenzione usuale.

Equazione generale della conduzione

dQ = λ dy dz \(\frac{dT}{dx}\)

dQ_x+dx = - λ dy dz \(\frac{∂T}{∂x} + \frac{∂²T}{∂x²} dx\)

Sostituendo dQ = c dV dT = λ dV dT \(\frac{∂²T}{∂x²}\)

Operatore di Laplace

L'equazione differenziale di secondo ordine è:

\(\frac{∂T}{∂t} = \frac{λ}{c cp} ∇² T\)

Diffusività termica: in g.s. la temperatura non varia nel tempo \(\frac{∂T}{∂t} = 0\).

Conduzione

I corpi solidi sono definiti da particelle contigue e moti vibratori senza spostamento di materia. I gradienti termici non sono radianti. Le superfici isoterme e le linee di flusso formano il campo termico, permettendo di capire in quale direzione si trasmette il calore.

Considera un corpo solido omogeneo attraversato da un flusso termico:

Quantità infinitesime:

dQ = λ dS dr \(\frac{dT}{dn}\)

Segno: la trasmissione del calore avviene verso temperature minori.

Equazione di Fourier

• dQ_x = λ dy dz dT/dx
• dQ_y = ...
• dQ_z = ...

Somma dei contributi delle tre facce: dQ_x + dQ_x+dx + dQ_y + dQ_y+dy + dQ_z + dQ_z+dz = dQ

dQ = λ dv dt (3² T² x/x²)

Equazione differenziale di secondo ordine e derivate parziali:

Le fondamentali della calometria: Q = c M dT

Eguagliando i calori: cρ dV ∂T/∂t dv = λ dv dV (3² T₂ ²)

Operatore di Laplace: _∂T/∂t = _1/cρ ∇²T

Diffusività termica [m²/s]. Nota bene: la temperatura non varia nel tempo \(\frac{∂T}{∂t} = 0\) = equazione di Laplace.

Applicazione: parete piana in R.S.

Assunzione: R.S. T₁ > T₂, materiale omogeneo.

∇²T = 0 → ∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² + ∂²T/∂z² = 0 (y,z // ai piani isostatici)

Integro tre volte ∂T/∂x = κ₄T = κ₁ x + κ₂

Condizioni ai limiti:

• T = T₁ x = 0
• T = T₂ x = S → T₂ = κ₄S + κ₂

→ κ₄ = T₂ - T₁ / S

→ Sostituisco T = T₁ - (T₁ - T₂) / S → Quantità di calore trasmessa nell'unità di tempo che attraversa un'area A:

δQ = λ ∙ dA dt dT/ds

Q = λ A (T₁ - T₂) / S

q = Q/τ = λ A (T₁ - T₂) / S

Conduttanza della parete: 1 / S [W/m²K]

Resistenza termica: R = S / λ

q = ΔT/ℓ

Parete multistrato

Assunzione: R.S. T₁ > T₂ > T₃, flussi trasmessi:

q₁ = λ₁ / S₁ (T₁ - T₂)

q₂ = λ₂ / S₂ (T₂ - T₃)

Per le ipotesi (E.S.) q₁ = q₂ = q allora:

q S₁ / λ₁ + (T₁ - T₂) q S₂ / λ₂ = (T₂ - T₃)

q (S₁ / λ₁ + S₂ / λ₂) = (T₁ - T₃)

q = S₁ / λ₁ + S₂ / λ₂ (resistenza termica)

q = T₁ - T₃ / Σ S_i / λ_i

Tubo cilindrico in R.S.

Assunzione: cilindro cavo, superfici isoterme, materiale isotropo e omogeneo. R.S. T_A > T_B.

Eq. di Fourier in coordinate cilindriche:

∇²T = ∂²T/∂z² + 1/r ∂T/∂r + 1/r² ∂²T/∂θ²

Condizione soddisfatta se ∂T/∂z = k₄/r

∫dT = ∫(k₄/r) dr ⇒ T = k₀ln r + k₂