Fisica Tecnica - Lezioni Teoriche 16-17-18

Conduzione stazionaria

c_p ^∂T/_∂t = k (^∂2T/_∂x² + ^∂2T/_∂y² + ^∂2T/_∂z²) + q̇_gφ = -k ∇ T

T(x, y, z, t)

φ_x = -k ^∂T/_∂x

Stazionario: ^∂T/_∂t = 0

0 = k( ) + q̇_g

Monodimensionale: dipende da 1 solo coordinato spaziale

0 = k (^d2T/_dx²) + q̇_g

Equazione di Fourier stazionario e monodimensionale

^d2T/_dx² = -q̇_g/k

T(x) = -^q̇_g/_2k x²/k + A x + B

Conduzione stazionaria

_^∂T/∂t = k (_∂²T/∂x² + _∂²T/∂y² + _∂²T/∂z²) + _̇Qg

Φ = -k ∇ T

Φ_x = -k _∂T/∂x

Stazionario: _∂T/∂t = 0

0 = k ( ) + _̇Qg

Monodimensionale: dipende da 1 solo coordinato spaziale

0 = k (_d²T/d x²) + _̇Qg

Equazione di Fourier stazionario e monodimensionale

Riscrivo:

_d²T/d x² = -_̇Qg/k

T(x) = -_̇Qg/2k x² + A x + B

T(x) = -_̇Qg/2k x² + A x + B

Devo calcolare A e B applicando le condizioni al contorno.

Conosco T₁ e T₂ sulla parete.

• X=0 T(0)=T₁
• X=1 T(1)=T₂

Scrivo T(0).

T(0)=0+0+B → T(0)=B → B=T₁

Scrivo T(1).

T(1)=-_q>x²_g/k + A1 + B = T₂

A= [T₂-T₁]+_q x²_f/2.k

B=T₂

Condizioni al contorno

2) Non è necessario conoscere la T su entrambe le superfici, basta sapere 1 Temperatura e un flusso termico sotto.

γ_k =  _γ•p -KA

Scrivo T(0).

T(0)= T₁ → B=T₁

Scrivo Φ(φ).

Φ(φ)=•p_f-KA = Φ₂

Ho una superficie lambita da un fluido.

Il fluido si muove, necessita convettivo.

φ_m = h (T - T_f)

Coefficiente di scambio termico convettivo [h] = ^w/_{m² K}

Ora vediamo il caso

• X=0 T (0) = T₁
• X=λ

Condizione di 3° genere

Convettiva o di Robin.

3. B = T_f

φ = - K ^{q'' λ2}/_2K + λ A + B - T1 + 2

Una volta calcolate.

Immaginato di disegnarle.

T (x) = A x + B

φ_x (x) = - K A

• Flusso termico comunque negativo in (A)
• Positivo (B)
• Nullo (C)

(1) flusso negativo (←)

Φ = -κ dT/dx

Il punto in cui il flusso è nullo è il punto di massimo perché la derivata è 0.

Pareti composte da più strati

Supponiamo ora di avere pareti composte da + strati, solo che la conduttività termica K non è uniforme.

Ma in Fourier avevamo detto K costante.

Possiamo semplificare:

Quando abbiamo un corpo composto da 2 materiali:

Risolverò prima per K₁ e poi per K₂.

Risolvo 2 problemi.

Supponiamo di avere 2 strati di materiali in parete monodimensionale.

K₁, K₂

T₁(x)

T₂(x) → x

K₁d²T₁∂x² = - ^q∅₁

K₂d²T₂ ∂x² = - ^q∅₂

T₁(x) = - ^q ∅₁x² / 2K₁ + AX+B

∅₁(x) = ^q∅₁ x - K₁ A

T₂(x) = - ^q ∅₂x² / 2K₂ + CX+D

∅₂(x) = ^q∅₂ x - K₂ C

Ho però 4 incognite e ne ho imposte 2 in 0 e in 3 mentre tra 2 pareti ne impongo 2 non conosco T e ∅ all'interfaccia.

Ma posso imporre condizioni all'interfaccia.

In X = D₁ ∅₁(D₁) = ∅₂(D₁)

X = 0 ...X = D₁

T₁(D₁) = T₂(D₂)

X = D₂ = D₁ + D₂ ...

Per una parete di 3 strati di materiali

cond₂T_J/dx₂ = 0

s₀ già che

T₁(x) = A x + B

T₂(x) = C x + D

T₃(x) = E x + F

φ₁(x) = -K₁A

φ