Fisica sperimentale A

Cinematica moto punto materiale

La legge oraria va a descrivere il moto di un oggetto puntiforme lungo una traiettoria assegnata.

• 1D la legge oraria è X = X(t); legge che lega la posizione assunta dal corpo al tempo percorso.
• 2D X = X(t) legge oraria rispetto all’asse x; Y = Y(t) legge oraria rispetto all’asse y.

Velocità

Un oggetto puntiforme percorre una traiettoria secondo una grandezza fisica che prende il nome di velocità, che mette in relazione lo spazio percorso con il tempo impiegato per percorrerlo.

Δx( ) = V̅ Δt

• Velocità media si misura in metri al secondo (m/s): Δt Δx.
• Velocità istantanea si tratta il numero a cui tende il rapporto man mano che Δt tende a zero ovvero diminuisce: Δx dx( ) = = V(t) lim, Δt dt, Δt → 0. Che è anche uguale a x'(t) o a ẋ(t).

Nota la velocità si può andare a ricavare lo spazio percorso da un oggetto puntiforme in un determinato intervallo di tempo. Dato il grafico di una funzione f(t) si può calcolare lo spostamento andando a calcolare l’area sottesa al grafico della funzione f(t) (area gialla).

t f ∫ = (t)A f dt(t); tf i t i

Moto uniforme

Moto uniforme (X = V * (t – t₀))

Moto in cui la velocità rimane costante nel tempo V = V₀ = cost.

dx( ) = V(t)

Se ho X(t) → dt

t ∫ ( ) = X(t) Vdt

Se ho V(t) → t₀

Accelerazione

Abbiamo un’accelerazione quando un oggetto puntiforme percorre una traiettoria con una velocità non costante a causa di accelerazioni o decelerazioni.

Δv a̅ =

• Accelerazione media si misura in metri al secondo quadrato (m/s²) → Δt Δv.
• Accelerazione istantanea che è uguale a: Δv dv( ) = = a(t) lim V'(t); Δt dt, Δt → 0.

Avendo invece lo spostamento possiamo comunque calcolare l’accelerazione con d²x(t) / dt² = x''(t) = a(t).

Moto uniformemente accelerato

Moto uniformemente accelerato (X = 1/2 * a * t²)

Moto in cui l’accelerazione rimane costante nel tempo a = a₀ = cost.

d²x(t) / dt² = a(t) = cost.

t ∫ ( ) = V(t) + a(t − t₀) V₀ = a t dt + V₀, t₀ = a V t.

Se V = V₀ = 0 e se t = t₀ = 0 allora.

t ∫ ( )( ) = x + (t) + V + ) X(t) = V dt = X₀ + V₀(t − t₀) + 1/2 a(t − t₀)², t₀.

1/2 ( ) = X(t) a t².

Se X₀, V₀, t₀ sono uguali a zero.

√ 2 X t = a₀.

Dinamica

Ogni cosa si muove con un certo moto solo se vi è una interazione (forze) tra gli oggetti.

• 1 principio → “In assenza di interazioni il moto di un oggetto puntiforme si svolge lungo una retta a velocità costante”.
• 2 principio → “Un corpo materiale in seguito all’interazione con altri corpi subisce un’accelerazione”.
• 3 principio → “Ad ogni azione corrisponde una reazione pari e contraria”.

Forza -------------> Accelerazione

F/a = m, quindi l’accelerazione è inversamente proporzionale alla massa.

F = m * a

Quindi, per il secondo principio della dinamica o legge fondamentale della dinamica, dove F è la forza ed esprime l’intensità dell’interazione la cui unità di misura è il Newton (N).

La F = 1N è quella forza che se applicata ad un oggetto di massa m = 1Kg produce un’accelerazione pari ad a = 1m/s².

m * d²x(t) / dt² = F(x)

F = m * a

Caduta libera di un grave

Un qualsiasi corpo sotto l’azione della gravità cade.

m * d²x(t) / dt² = F(x) = cost.

In quanto l’accelerazione esercitata su un corpo dalla forza di gravità è sempre la stessa purché il corpo si trovi in prossimità della superficie terrestre.

d²x(t) / dt² = a(x) = cost.

In particolare; l’accelerazione di gravità viene indicata con la lettera g = 9,81 m/s².

V(t) = ¿

Quindi: 1/2 X(t) = g t² legge oraria del moto.

Forza peso

Il peso di un oggetto è la forza dovuta all’attrazione gravitazionale che agisce su un oggetto.

Il peso è quindi quella forza che dà un’accelerazione pari a g, accelerazione di gravità, ad un corpo dotato di una massa pari ad m.

P = m * g

Attrito viscoso

Nonostante il moto di caduta di un grave sia caratterizzato dall’accelerazione di gravità si può osservare come in realtà il moto sia uniformemente accelerato solo inizialmente.

Con il passare del tempo e una volta raggiunto il valore limite della velocità (V_L) il moto diventa rettilineo uniforme. Questo viene spiegato in quanto un corpo cadendo viene rallentato dall’aria, tramite una forza chiamata d’attrito.

Forza d’attrito viscoso (F_V) → F_V = -μmv, dove μ è una cost ed indica la proporzionalità tra F e V.

F = mg - μmv(t) = ma(t) (La forza complessiva su un corpo in caduta)

g - μv(t) = a(t)

dv(t) / dt = g - μv(t)

v v(t) dv ∫ ∫ = dt → g − μv, v v₀ 0

g/μ * (1 − e^−μt) = v(t), dove g/μ è la velocità limite (V_L).

Moti armonici

Moti armonici F_e = -K * x (forza elastica)

K è il coefficiente di proporzionalità e prende il nome di rigidità o di costante elastica.

Secondo la legge fondamentale della dinamica F_e = m * a(t).

-K * x = m * a(t)

m * d²x(t) / dt² + k * x(t)

d²x(t) / dt² = k/m * x(t)

d²x(t) / dt² = ω² * x(t), il rapporto k/m prende così il nome di ω².

X(t) = A sin (ωt), legge oraria di un oscillatore armonico.

d²x(t) / dt² = ω² * A sin (ωt)

A corrisponde all’ampiezza delle oscillazioni.

√ω 1 k

La frequenza è e il periodo è il reciproco della frequenza = = * f 2π 2π m

√1 m = = 2T π f k

Dinamica in più dimensioni

Vettori

• Spostamento s⃗: si tratta di una freccia che va ad unire un pto di partenza A con un pto d’arrivo B.
• Somma → s⃗ = s⃗₁ + s⃗₂.
• Differenza → s⃗ = s⃗₁ + (−s⃗₂).
• Prodotto → s⃗ = s⃗₁ * α, dove α sono il numero di volte che si ripete il vettore.
• Posizione Modulo = lunghezza.

r⃗

Direzione

Verso dove è

r⃗ = r⃗_x + r⃗_y

r⃗_x = r_x(t) u⃗_x

r⃗_y = r_y(t) u⃗_y

r⃗(t) = r_x(t) u⃗_x + r_y(t) u⃗_y

Velocità in più dimensioni

Δx / Δt = Δr⃗ / Δt = V⃗

La velocità è sempre tangente alla traiettoria, proprietà fondamentale della velocità.

[ ] Δr⃗ / Δt = Δr_x / Δt * u⃗_x + Δr_y / Δt * u⃗_y = V_x(t) u⃗_x + V_y(t) u⃗_y

V⃗ = lim Δt → 0

Accelerazione in più dimensioni

d²x / dt² e d²y / dt²

a⃗ = a_x u⃗_x + a_y u⃗_y = d²x / dt² u⃗_x + d²y / dt² u⃗_y

[ ] d(v(t) * u⃗_t) / dt = a⃗ = dv/dt u⃗_t + v(t) du⃗_t/dt

Acc. Tangenziale Acc. Normale

du⃗_t(t) / dt = lim Δt → 0 (u⃗_t(t + Δt) − u⃗_t(t)) / Δt

Moto circolare uniforme

Si tratta di un moto a velocità costante.

{ x = r * cos θ

Dove valgono le relazioni y = r * sin θ

Il punto p spostandosi lungo la cfr. percorre angoli uguali in tempi uguali, cioè l’angolo percorso dal vettore r è direttamente proporzionale al tempo impiegato.

In particolare (velocità