Fisica II (tutto il programma)

Definizione di un campo elettrostatico

Una distribuzione di cariche modifica lo spazio circostante.

*Carica di prova (soggetta a una forza carica vettoriale (modulo, direzione e verso)= lim '' ((→(

Definiamo la carica elettrica, carica di tipo scalare. Scegliamo una carica positiva per definizione. La posizioniamo nello spazio.

Nuova def.

Prendiamo la carica di prova e la dividiamo per la carica di prova def una nuova grandezza campo elettrico.

* Campo elettrostatico: è generato in un punto dello spazio da un sistema di cariche= '(ferme, è definita come la forza elettrica risultante, F che agisce su una carica di prova q0 positiva posta in quel punto divisa per carica q0 stessa. MA in concreto q0 la carica di prova può perturbare la distribuzione originale non potendo questa essere formata da cariche esattamente prive di struttura.' ', (

Campo generato da una carica puntiforme

= /|.| ∙'(Il campo prodotto da una carica puntiforme q, nel punto P (x.y.z) è dato da

1 8 = 1 8:4 6 8

e ha le componenti cartesiane, si deduce che se la carica q è positiva il campo è uscente da q, mentre se la carica q è negativa il campo è entrante in q1.

Prendiamo il campo generato da un sistema discreto di cariche puntiformi. Usando anche la forza di Coulomb)

Principio di sovrapposizione

Le forze elettriche agenti su una carica q0 dovute alle cariche circostanti si sommano come vettori; vige cioè il principio di sovrapposizione, detto anche principio di indipendenza delle forze simultanee. Consideriamo 3 cariche puntiformi, fisse in un sistema di riferimento inerziale, q1, q2, q0.

La carica q1 esercita separatamente la forza F1 su q0 e la carica q0 è data dalla somma vettoriale di F1 e F2. Se indichiamo r1 e r2 rispettivamente la distanza q1 e q0 e da q2 a q0 e con u1 e u2 i relativi versori, uscenti dalle cariche possiamo scrivere.

1 1 1 6 : 6 = + = + 1 : 1 :1: ::4 4 6 6

la forza elettrica su una carica puntiforme q0 risultante delle forze esercitate da un sistema discreto di cariche puntiformi qi, si ottiene questa formula con ovvio significato dei simboli.

Questi risultati sono verificati sperimentalmente e confermano il carattere vettoriale della legge di Coulomb. La grandezza vettoriale viene chiamata campo elettrostatico. Più precisamente il campo elettrostatico E generato in un punto dello spazio da un sistema di cariche ferme è definito come la forza elettrica risultante F che agisce su una carica di prova q0 positiva posta in quel punto divisa per la carica q0 stessa.

Dipolo elettrico

Calcoliamo il campo E su un punto dell’asse del segmento che congiunge le due cariche

Dipolo in un campo elettrico uniforme

Energia potenziale elettrostatica di un dipolo in un campo uniforme

Per cambiare l’orientamento di un dipolo elettrico posto in un campo esterno, un agente esterno deve fornire lavoro W che viene immagazzinato come energia potenziale U nel sistema costituito dal dipolo e dal dispositivo usato per produrre il campo esterno

Campo elettrico generato da una distribuzione continua di cariche

Già sappiamo che le cariche di interesse nei problemi elettrostatici corrispondono a un numero molto grande di cariche elementari. Nella maggior parte dei casi pratici queste cariche sono concentrate in un unico punto, o in una regione estremamente ristretta, ma sono distribuite nello spazio con una ben determinata geometria. Tali distribuzioni spaziali di carica sono naturalmente sorgenti di campo elettrostatico nelle normali applicazioni non si è interessati tanto alla conoscenza del campo locale che esiste in prossimità di ciascuna carica

Abbiamo già rilevato che le cariche di interesse nei problemi elettrostatici corrispondono a un numero molto grande di cariche elementari; inoltre nella maggior parte dei casi pratici queste cariche non sono concentrate in un unico punto, o in una regione estremamente ristretta, ma sono distribuite nello spazio con una ben determinata geometria. Tali distribuzioni spaziali di carica sono naturalmente sorgenti di un campo elettrostatico: nelle normali applicazioni non si è interessati tanto alla conoscenza del campo locale che esiste in prossimità di ciascuna carica, campo che d'altra parte non sarebbe né calcolabile, per l'elevato numero di contributi tipo ( 1.14 ), né rilevabile sperimentalmente, quanto piuttosto al campo medio nei punti distanti dalle cariche, punti dai quali la distribuzione di carica è vista come una distribuzione continua. La distanza in questione, che può essere anche piccola dal punto di vista macroscopico, deve essere molto grande rispetto alla distanza media tra le cariche elementari, che è dell'ordine di 10^-10 m.

"Se la carica è distribuita in un corpo C avente il volume i'~ si definisce la densità spaziale di carica p (x', y', z' ) mediante la

dq = p (x', y', z' ) dr ,

dove dr= dx' dy' dz' è il volume elementare, intorno al punto del corpo di coordinate x', y', z', in cui è contenuta la carica dq. La carica totale posseduta dal corpo è data dall'integrale

q= integrale t (x',y',z')dr

esteso a tutto il volume; in generale la densità può essere variabile da punto a punto.

Il campo elettrostatico prodotto dalla carica infinitesima dq in un punto p (x,y,z) distante r da dq si scrive utilizzando in quanto dq è approssimabile a una carica puntiforme per questo calcolo

Calcolare il campo elettrico E generato da un tratto rettilineo uniformemente carico (-) nel punto P

Linee di forza del campo elettrostatico

L'introduzione del concetto di campo elettrostatico mette in evidenza che la presenza di un sistema di cariche, dal caso più semplice della singola carica puntiforme al caso più generale di una distribuzione spaziale, modifica lo spazio circostante nel senso che una carica di prova posta in un qualsiasi punto risente della forza attribuita all'interazione con il campo. Partendo da una generica posizione e muovendosi per tratti infinitesimi successivi, ciascun parallelo e concorde al campo elettrostatico in quel dato punto, si ottiene una linea che è detta linea di forza o linea di campo: pertanto in ogni suo punto tale linea per definizione è tangente al campo e il suo verso di percorrenza indica il verso del campo. Se si traccia un certo numero di linee di forza si ha una rappresentazione grafica complessiva del campo in tutto lo spazio, come vedremo negli esempi che seguono. Nel caso di una carica puntiforme, le linee di forza hanno direzione radiale con origine sulla carica e sono uscenti da questa se è positiva, entranti se è negativa. Si vede dalla figura 1.30 che le linee di infittiscono man mano che ci si avvicina alla sorgente del campo e ciò indica che l'intensità del campo è crescente. Come esempi successivi consideriamo due cariche puntiformi eguali in valore, ma di segno opposto (sistema detto dipolo elettrico che studieremo nel paragrafo 2.7), e due cariche puntiformi eguali in valore e segno (positive nella figura 1.31). Già a questo punto sono evidenti tutte le proprietà delle linee di forza. Oltre alle prime due già enunciate:

• Una linea di forza in ogni suo punto è tangente e concorde al campo in quel punto;
• Le linee di forza si addensano dove l'intensità del campo è maggiore; abbiamo che:
• Le linee di forza non si incrociano mai, in quanto in ogni punto il campo è definito univocamente e non può avere due direzioni distinte;
• Le linee di forza hanno origine dalle cariche positive e terminano sulle cariche negative; qualora ci siano solo cariche di m\p stesso segno le linee di forza si chiudono all'infinito; \
• Nel caso di cariche di segno opposto, ma eguali in modulo, tutte le linee che partono dalle cariche positive si chiudono su quelle negative, alcune passando eventualmente per l'infinito: se invece le cariche non sono eguali in modulo, alcune linee terminano o provengono dall'infinito, come nella figura l.32(+q,-q/2).

Un campo uniforme è rappresentato da linee parallele (costanza di direzione e verso) ed equidistanti (costanza del modulo).

Teorema di Gauss

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