Fisica generale - meccanica, lavoro ed energia

Meccanica dinamica

Lavoro ed energia

Meccanica

Lavoro ed energia – Introduzione (I)

Energia

Il concetto di energia è uno dei più importanti concetti fisici sia nella scienza che nella pratica ingegneristica. Nella vita quotidiana si parla di energia in termini di costo del combustibile per trasporto e di riscaldamento oppure di elettricità che si consuma e così via. Queste idee qualitative non definiscono realmente l’energia ma ci indicano solamente che i combustibili sono necessari per compiere lavoro e che questi combustibili ci forniscono ciò che chiamiamo energia.

L’energia è presente in varie forme (meccanica, termica, elettromagnetica, chimica, trasformanucleare) che sono collegate fra di loro. Infatti, quando l’energia si trasforma da una forma all’altra, la quantità totale di energia rimane la stessa e questo, come comprenderemo meglio più avanti, è l’aspetto che rende il concetto di energia così utile.

In quanto segue tratteremo solo della forma meccanica dell’energia e vedremo che i concetti di lavoro e di energia possono applicarsi alla dinamica di un sistema meccanico senza fare ricorso alle Leggi di Newton. Tuttavia occorre notare che i concetti di lavoro – energia si basano sulle Leggi di Newton e che quindi non implicano alcun nuovo principio fisico.

Per quanto la trattazione che si usa nella descrizione di un sistema meccanico porti agli stessi risultati di quelli che si ottengono dalle Leggi di Newton, le idee generali del concetto lavoro – energia si possono applicare ad un’ampia classe di fenomeni che travalicano la meccanica e spaziano nella termodinamica, nell’elettromagnetismo, nella fisica nucleare e quant’altro.

In una situazione complessa la trattazione in termini di energia può spesso fornire un’analisi più semplice che l’applicazione diretta della II Legge di Newton.

Meccanica

Lavoro ed energia – Introduzione (II)

Questo metodo di descrivere il moto è particolarmente utile quando la forza che agisce su un punto materiale non è costante e dà luogo ad una accelerazione che non è costante e non permette quindi di applicare le semplici equazioni cinematiche per il moto uniformemente accelerato.

Cominceremo definendo il lavoro, un concetto che fornisce un legame tra i concetti di forza e di energia.

Meccanica

Lavoro eseguito da una forza costante (I)

Si consideri un oggetto che compie uno spostamento lungo una linea retta sotto l’azione di una forza costante che F forma un angolo l con  s.

Il lavoro forza costante eseguito da una forza è definito come il prodotto della componente della forza nella direzione dello spostamento per il modulo dello spostamento  .

Poichè la componente di F nella direzione di s è F cosθ, il lavoro eseguito da F è:

W (F cos θ) s  W F s

Dalla definizione di prodotto scalare fra vettori, dove θ è l’angolo fra    A B cos θ A B   i due vettori, il lavoro può esprimersi come prodotto scalare fra i vettori F e s:

   W F s cos θ F s 

Da tale definizione è evidente che F esegue un lavoro su un oggetto se si verificano le condizioni:

• L’oggetto deve compiere uno spostamento.  
• F deve avere una componente diversa da zero nella direzione di s.

Meccanica

Lavoro eseguito da una forza costante (II)

Dalla prima condizione si vede che una forza non esegue lavoro su un oggetto se l’oggetto non si muove (s = 0).

P. es., se una persona spinge una parete di mattoni, si esercita una forza sulla parete ma la persona non compie lavoro dato che la parete è fissa. [Tuttavia, i muscoli della persona si contraggono (subendo quindi uno spostamento interno alla persona) nel processo per cui si consuma energia interna alla persona. La persona, se esposta ai raggi solari, infatti suda!]

Dalla seconda condizione si vede che il lavoro eseguito dalla forza è ancora nullo se la forza è perpendicolare allo spostamento poichè θ = 90 e cos 90 = 0.   0 0

P. es. nella figura a fianco sia il lavoro eseguito dalla forza vincolare, il normale, che il lavoro eseguito dalla forza di gravità sono pari a zero in quanto entrambe le forze sono perpendicolari allo spostamento e hanno componenti nulle nella direzione di s.

Similmente, se si sostiene un peso con un braccio disteso per un certo periodo di tempo nessun lavoro è eseguito sul peso (nell’ipotesi che il braccio non si muova né oscilli). Anche se occorre esercitare una forza verso l’alto per sostenere il peso, il lavoro eseguito dalla forza è zero poichè è nullo lo spostamento.

Sostenendo il peso per un certo tempo il braccio si stancherà e si potrebbe asserire che lo sforzo richiede una quantità considerevole di “lavoro”. Da questo esempio è evidente che il significato di lavoro in fisica è ben diverso dal significato che gli si attribuisce nella pratica quotidiana [sul fatto che la persona si stanca vedi anche commento ad es. di sopra].

Meccanica

Lavoro eseguito da una forza costante (IV)

 Il segno del lavoro dipende dalla direzione di F rispetto a s.

Il lavoro eseguito dalla forza applicata è positivo se il vettore associato con la componente F cosθ presenta lo stesso verso dello spostamento (ovviamente ha la  stessa direzione perchè per definizione è la proiezione di F lungo la direzione di s).

Es. 1) Se un oggetto di massa m è sollevato da una persona, il lavoro compiuto dalla persona che applica la forza per sollevarlo è positivo, poichè la forza è diretta verso l’alto e così pure lo spostamento verticale, ossia forza e spostamento hanno lo stesso verso. Invece il lavoro compiuto dalla forza di gravità è negativo in quanto forza e spostamento hanno verso opposto.

Se si assume, quindi, che la persona sollevi la scatola con una forza in modulo pari al peso della scatola, il lavoro compiuto dalla persona è pari a mgh.

    W F s (mg) (h) mgh

Se la persona poi sposta orizzontalmente la scatola con una accelerazione orizzontale approssimativamente nulla, il lavoro compiuto dalla persona mentre sposta la scatola orizzontalmente è zero perchè la forza applicata orizzontalmente è approssimativamente zero e la forza che sostiene il peso della scatola in questo processo è perpendicolare allo spostamento. Quindi il lavoro totale svolto dalla persona durante il processo completo è mgh.

Il lavoro svolto dalla forza di gravità è  mgh perchè la forza è orientata verso opposto allo spostamento. Il lavoro svolto dalla forza di gravità durante lo spostamento orizzontale è zero perchè la forza è perpendicolare allo spostamento per cui il lavoro svolto nel complesso dalla gravità è  mgh.

Il lavoro totale compiuto da tutte le forze sulla scatola è zero poichè     mgh (mgh) 0.

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Lavoro eseguito da una forza costante (V)

Il lavoro eseguito dalla forza applicata è negativo se il vettore associato con la componente F cosθ presenta verso opposto allo spostamento (ovviamente ha la stessa  direzione perchè per definizione è la proiezione di F lungo la direzione di s).

Es. 2) Lavoro eseguito dalla forza di attrito quando un corpo scivola su una superficie scabra. Se la forza di attrito radente è f_k e il corpo compie uno spostamento lineare  x, il lavoro compiuto dalla forza di attrito è    W f x f_k, dove il segno negativo deriva dal fatto che θ = 180 e quindi cos 180 = -1.         0

Meccanica

Lavoro – Dimensioni e unità di misura

Il lavoro è una grandezza scalare e le sue dimensioni sono quelle del prodotto (forza) X (lunghezza).

Nel SI l’unità di misura è il Joule (J) che viene anche detto   N m (Newton m).

Dal punto di vista dimensionale                  2 2 2 W F L M L T L M L T, cioè le dimensioni sono quelle del prodotto (massa) X (velocità)².

Poichè il lavoro è una grandezza scalare si può sommare algebricamente il lavoro eseguito dalle singole forze per ottenere il lavoro eseguito.

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Lavoro eseguito da una forza variabile – Caso unidimensionale (I)

Sia dato un oggetto, assimilabile ad un punto materiale, che, sotto l’azione di una forza variabile, si sposta lungo l’asse x da x = x_i a x = x_f. In una tale situazione, per calcolare il lavoro eseguito dalla forza sull’oggetto non si può usare la relazione  W (F cos θ) s  poichè quest’ultima è applicabile solo nel caso in cui la forza F è costante in modulo e verso.

In questo caso occorre usare una procedura analoga a quella vista per l’integrazione delle equazioni del moto e cioè si suppone che lo spostamento dell’oggetto possa essere considerato come somma di tanti spostamenti  x, molto piccoli e quindi tali che la componente della forza F_x lungo l’asse x possa a sua volta essere considerata approssimativamente costante su ciascuno di essi.

In tal modo il lavoro compiuto dalla forza in ogni piccolo spostamento  può essere espresso come W  F_x  x.

Se la curva F_x in funzione di x viene divisa in un gran numero di intervalli allora il lavoro eseguito nello spostamento da x = x_i a x_f è uguale approssimativamente alla somma di un numero grande ma finito di termini e cioè W_x    W F_x  x x_i.