Fisica Generale: gravitazione

Gravitazione

Studia l'interazione tra corpi celesti tramite forza gravitazionale.

Forza centrale

A simmetria sferica.

• Centrale → costante diretta verso un punto.
• Simmetria sferica → modulo dipende solo dalla distanza r dal centro di forza.

Presa P costantemente rivolta a O.

F = Fû_r — dr = drû_r + r dû_r

Dimostro che forza centrale a simmetria sferica è conservativa.

Lavoro dipende solo da estremi del percorso.

dℒ = F(r)û_r dr = F(r)û_r (drû_r + r dû_r)

F(r)û_r drû_r —→ 1 cos0°=1

F(r)û_r r dû_r —→ 1 cos90°=0

dℒ = F(r)û_r dr û_r = F(r) dr = -dE_p

nL_{energia potenziale}

L_AB = ∫_A^B F(r) dr = Epot_A - Epot_B

Forze centrali a simmetria sferica sono conservative.

Forza di attrazione gravitazionale

Considero 2 masse gravitazionali (sorgente di interazione tra le 2 stesse masse).

û_r F m₂ m₁

F = -G m₁ m₂ / r² û_r

r distanza tra i due corpi.

Gravitazione

Studia l'interazione tra corpi celesti tramite forza gravitazionale.

Forza centrale a simmetria sferica

• Centrale → costante diretta verso un punto.
• Simmetria sferica → modulo dipende solo dalla distanza r dal centro di forza.

Prendo P costantemente rivolta a O.

F = F û_r — dr = dr û_r + r dû_r

Dimostro che forza centrale a simmetria sferica è conservativa.

Lavoro dipende solo da estremi del percorso.

d = F(r) û_r ∙ dr = F(r) û_r ∙ (dr û_r + r dû_r)

F(r) û_r ∙ dr û_r → 1 // cos0° = 1

F(r) û_r ∙ r dû_r → 1 cos90° = 0

d = F(r) û_r ∙ dr û_r = F(r) dr = - dE_p (energia potenziale)

L_AB = ∫_A^B F(r) dr = E_pA - E_pB

→ Forze centrali a simmetria sferica sono conservative.

Forza di attrazione gravitazionale

Considero 2 masse gravitazionali (sorgente di interazione tra le 2 stesse masse).

F = - G m₁m₂ / r² û_r

r distanza tra i due corpi.

G = costante gravitazionale universale = 6,673 · 10^-11

Energia potenziale gravitazionale

Epota - Epotb = L_ab = ^B∫_A F r dr = ^B∫_A G ^m₁m₂/ₓ² dr == Gm₁m₂ ^B∫_A 1/ₓ² dr = Gm₁m₂ (1/r_B - 1/r_A)

Dimostrazione forza conservativa

Prendiamo Epot=0 se r → +∞ → corpi molto distanti tra loro → forza gravitazionale non risente od oggetto. B → +∞ → Epot_B = 0

Epot_A = -G^m₁m₂/ₓ

Leggi di Keplero

Sole e Pianeti sono schematizzati come punti materiali.

• I legge: Le orbite descritte dai pianeti attorno al sole sono ellissi di cui il sole occupa uno dei due fuochi.
• Periodo di rivoluzione → tempo impiegato a percorrere un giro completo attorno al sole.
• II legge: Il raggio vettore che congiunge il centro del sole con il centro di ogni pianeta spazza aree proporzionali ai tempi impiegati a descriverle.
• Aree uguali in tempi uguali → pianeta ha velocità diverse.
• III legge: I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle orbite ellittiche.

T²/r³ = 4π²/Gm_s