Fisica generale 1

Prof. Ugo Zammitt - Fisica generale I

Rappresentazione vettoriale

Rappresentazione polare

3 parametri: ModuloDirezioneVerso indicati con 2 angoli.

Rappresentazione cartesiana

Specificate le 3 coordinate cartesiane del vettore.

Vettore posizione => sistema di coordinate.

3 assi perpendicolari tra loro con un'origine fissata e associato un verso positivo -> versore: vettore di modulo unitario che serve a caratterizzare direzione e verso.

Per rappresentare il vettore in coordinate cartesiane bisogna effettuare le proiezioni ortogonali del vettore sugli assi cartesiani.

x = |r| cos θ_x

y = |r| cos θ_y

(z) = |r| cos θ_z

|r| = √x² + y² + (z)²

cos² θ_x + cos² θ_y + cos² θ_z = 1 (coseni direzioni)

=> Nel nostro caso particolare (il vettore giace su uno dei piani cartesiani)

θ_z = 90° -> cos θ_z = 0

cos² θ_y + 1 - cos² θ_x = sin² θ_x

cos θ_y = sin θ_x

Fisica generale I

Rappresentazione vettoriale

Rappresentazione polare

3 parametri: Modulo, Direzione, Verso (indicati con 2 angoli).

Rappresentazione cartesiana

Specificate le 3 coordinate cartesiane del vettore.

Vettore posizione => sistema di coordinate.

3 assi perpendicolari tra loro con un'origine fissata e associato un senso positivo => versore: vettore di modulo unitario che serve a caratterizzare direzione e verso.

Per rappresentare il vettore in coordinate cartesiane bisogna effettuare le proiezioni ortogonali del vettore sugli assi cartesiani.

x = || cos θ_x

y = || cos θ_y

(z) = || cos θ_z

|| = √(x² + y² + (z)²)

cos² θ_x + cos² θ_y + cos² θ_z = 1 (coseni direttori)

=> Nel nostro caso particolare (il vettore giace su uno dei piani cartesiani)

θ_z = 90° => cos θ_z = 0

cos² θ_y + 1 - cos² θ_x = sin² θ_x

cos θ_y = sin θ_x

Cambio del sistema di assi cartesiani

Cosa succede al vettore se cambio il sistema di assi cartesiani?

Sono cambiati gli angoli tra il vettore e i versori.

x' = |r| cos θ_x

y' = |r| cos θ_y

(z') = |r| cos θ_z

Il vettore è lo stesso ma è cambiata la rappresentazione.

Il vettore è oggettivo.

La rappresentazione del vettore è soggettiva.

Il sistema di coordinate è arbitrario, dipende da chi descrive il fenomeno.

Sceglierà il sistema di coordinate che semplifica la rappresentazione del vettore.

Scelgo un sistema di coordinate in cui uno degli assi cartesiani coincide con il vettore per direzione e verso.

θ_x" = 0 => x" = |r| cos θ_x" = |r|

θ_y" = 90°

θ_z" = 90°

cos θ_y" = cos θ_z" = 0 => y" = 0

z" = 0

|r| = √(x"² + y"² + z"²)

-> La somma dei quadrati delle componenti di uno stesso vettore è sempre la stessa rispetto a qualsiasi sistema di coordinate.

cos²θ_x + cos²θ_y + cos²θ_z = 1

La somma dei quadrati dei coseni direttori è sempre uguale a 1.

Piano cartesiano e vettori

Scelgo un piano cartesiano contenente nel piano descritto dai vettori e scelgo uno degli assi contenuti coincidente con uno dei vettori.

Es.

R_N:

θ_x = 90° → R_Nx = 0

θ_z = 90° → R_Nz = 0

θ_y = 0 → R_Ny = |R_N|

P:

α_x = 90° → P_x = 0

α_x = (3/2)π + α → cos α_x = cos((3/2)π + α) = -sin α

α_y = π + α → cos α_y = -cos α

Calcolo della direzione del vettore

Se conosco le coordinate rispetto al sistema di assi cartesiani posso calcolare la direzione del vettore rispetto agli assi.

x = |r|cos θ_x => cos θ_x = x/|r| = x/√(x² + y² + z²)

cos θ_y = y/|r|

cos θ_z = z/|r|

Se il vettore giace su un piano cartesiano...

tg θ_x = y/x

tg θ_y = x/y

→ = (x, y, (z))

x¯ = x^

y¯ = y^

(z¯ = z^)

→ = x + y + (z)

→ = xi^ + yj^ + (zk^)

=> Somma delle componenti vettoriali (regola del parallelogramma)