Vibrazioni forzate

Meccanica delle vibrazioni

Vibrazioni forzate

Tip. di forzanti: fenomeno armonico - il sistema è sollecitato da una armonica.

F = F₀cosωtmẍ = -kx - cẋ + F₀cos ωtmẌ + cẋ + kx = F₀cos ωt

Equazione del secondo ordine lineare a coef. cost. non omogenea.

Dove trovare l'integrale generale dell'omogenea associata e l'integrale particolare della non omogenea.

Integrale generale dell'omogenea sarà:

A₁f₁(t) + A₂f₂(t)

Andiamo a trovare con le condizioni iniziali.

Se c₁, c₂ ∈ ℝ con esponente negativo: f₁(t) e f₂(t) sono esponenziali.

→ Dopo un certo t siccome ho esponenti negativi si estingue.

Sono quindi un transitorio iniziale.

Se c₁ ∉ ℝ: x_h(t) che si ida vibra intorno che è x_to per vega.

f₁, f₂

L'integrale particolare delle omogenea non ho nessuna debole estinguere così modificano che unica occiso!

Puntino

Meccanica delle vibrazioni

Vibrazioni forzate

Tip. di forzanti: fenomeno armonico - il sistema è sollecitato da una armonica.

F=Focoswtmẍ = - kx - cẋ + fo cos wtmẍ + cẋ + kx = fo cos wt

Delle forzante che - dello delle pulsazione del mio sistema^Eq del secondo ordine lineare a coef cost non omogenea.

mẍ + cẋ + kx = 0

Conosciamo la soluzione.

Devo trovare l'integrale generale dell'omogenea associata e l'integrale particolare della non omogenea.

Integrale gener della omogenea sara:

A₁f₁(t) + A₂f₂(t)

A₁ e A₂ trov-o con le condizioni iniziali.

Se c₂, bₙ, c₃, cr f₁(t) e f₂(t) sono esponenziali con esponente negativo.

h(t)=> Dopo un certo t siccome ho esponenti negativ si estingue → sono quindi un transitorio iniziale.

Grandeza

Se c A(t) htx(t)_st - x(t)_vibra intanto che = occiso l'integ particolare delle omogenea non to neutra debba estinguere cos medimino che nota x quindi lo stesso pulsante della forzante.

Uguale complesso e pulsante.

Siccome sono in campo complesso posso scrivere x(t) = X₀ e^iωt la stessa soluzione.

ẋ(t) = iω X₀ e^iωt

u = la frequenza della forzante.

ω X₀ e^iωt + 2γω iω X₀ e^iωt + ω_n² X₀ e^iωt = F₀/k e^iωt

Ho comunque e^iωt => dipendenza dal tempo posso eliminarlo... semplice operazione algebrica ... nel dominio della frequenza.

X₀(ω_n² - ω + 2γωω) = F₀/k

X₀ = ω_n F₀/(ω_n² - 2γωω)k...

X_o = ^F_o/_K funzione Y di ¹/₍₁-(^ψ/_ωn)²+2i^ψ/_ωn