Velocità ed accelerazione

Velocità ed accelerazione

Spostamento del pt, adimensionale, lungo un asse x mi indica dove è pt lungo tra direzione.

O dimensione X è parametrizzato a come si muove nel tempo.

X è la funzione del tempo.

• 0-10 s fermo.
• 10-20 s muovo a velocità v.
• 20-30 s fermo.

Velocità

Velocità: variazione della posizione di un corpo.

V = spazio/tempo.

v_m = [x(t_f) - x(t_i)] / (t_f - t_i).

Derivate dello spazio rispetto al tempo.

[v] = L/T.

m/s.

Velocità ed accelerazione

Spostamento del pt, adimensionale, lungo un asse.

_{r x} mi indica dove _r pt lungo _x tra direzione.

x è una funzione del tempo.

• 0-10 fermo.
• 10-20 s muove a velocità v.
• 20-30 fermo.

Legge oraria della posizione

Velocità: variazione della posizione di un corpo.

v = spazio / tempo.

Velocità media

v_m = [x(t_f) - x(t_i)] / (t_f - t_i).

Derivata dello spazio rispetto al tempo.

[t] = L / T.

m/s.

Per avere info dettagliate in un determinato pt deve misurare lo spazio e tempo riducendo l'intervallo di tempo e spazio.

Posizione tempo finale - posizione tempo iniziale.

La parte si diminuisce a causa di Δt che tenderà sempre alla posizione iniziale.

Δt riporta al limite.

Velocità istantanea

lim (Δt → 0) [x(t+Δt) - x(t)] / Δt = dx/dt, derivata della quantità x rispetto il tempo.

Accelerazione

Accelerazione: variazione di velocità.

a_media = [V(t_f) - V(t_i)] / (t_f - t_i).

a_istantanea = [V(t+Δt) - V(t)] / Δt.

lim (Δt → 0) [V(t+Δt) - V(t)] / Δt.

Derivata della velocità per tempo.

a = [V] / T = [L/T²] → m/s².

Rapporto tra la derivata della velocità e la derivata del tempo.

Leggi orarie

Legge oraria di un punto fermo

X = X_o.

V = 0.

a = 0.

X_o è costante.

Moto uniforme

X = V_ot.

V = V_o.

a = dV/dt = 0.

V_o è costante.

Moto uniformemente accelerato

X = V_ot + a_o/2 t² + X_o.

a_o, V_o, X_o sono costanti.

V = V_o + a_o t.

a = a_o.

X(t=0) = X_o.

V(t=0) = V_o.

Moto oscillatorio

X = X_o cos(ωt).

V = -X_o ω sin(ωt).

a = -X_o ω² cos(ωt).

X(t=0) = X_o.

V(t=0) = 0.

Questa funzione ha un moto oscillatorio nel periodo T.

ω(t_f) - ω(t_i) = 2π.

ω(t_f - t_i) = ωT = 2π.

T = 2π/ω.

ω = rad 2π/sec.

Esempio: automobile

Es. un’automobile passa da 0 a 100 km/h in 6,00 s, accelerazione media.

a_m = V(t_f) - V(t_i) / t_f - t_i = (100 km/h - 0) / 6 s.

= (100 * 10³ m / 36 * 10² s - 0) / 6,00 s = 4,63 m/s².

1 km = 10³ m.

1 h ≃ 3600 s.

Esempio: legge oraria

x = a₀ t² / 2 + V₀ t + X₀ → legge oraria.

V₀ = V (t = 0) = + 10.0 m/s.

a₀ = - 5.00 m/s².

X₀ = x (t = 0) = 0.

1. In che tempo il punto si è fermo?
2. Che velocità ha quando x = 0?

1. Fermo, con velocità = 0.

x = a₀ t² / 2 + V₀ t + X₀.

V = a₀ t₁ + V₀.

a₀ t₁ + V₀ = 0.

t₁ = - V₀ / a₀ = - 10 m/s / - 5.00 m/s² = + 2.00 s.

Pongo X₀ = 0 nella legge oraria.

2. a₀ t² / 2 + V₀ t + 0 = 0.

a₀ t² / 2 + V₀ t = 0 → t (a₀ t / 2 + V₀) = 0 → t₂ = 0.

a₀ t / 2 + V₀ = 0 ⇒ t₂ = - 2V₀ / a₀.

Esplicito t₂ = - 2V₀ / a₀ ⇒ t₂ = - 2 · 10.0 m/s / - 5.00 m/s² = + 4 s.

In t = t₁ V = V₀.

In t = t₂ V = V₀ = 10,0 m/s.

Metto a t ciò che ho ottenuto nella formula V = a₀ t + V₀ = a₀ (-2V₀)/a₀ + V₀.

= -2V₀ + V₀ → -V₀ = -10 m/s.

V₀ = 10 m/s.

Esempio: tuffatore

E tuffatore su piattaforma a 10 m, si lancia e mi vuoi sapere il tempo in cui arriva in acqua e a che velocità.

Moto rettilineo accelerato con a = -9,8 m/s².

a₀ = -9,8 m/s².

X₀ = 10 m al t = 0.

T? V?

1. Riprendo formule del moto uniformemente accelerato.

X = V₀ t + a₀ t²/2 + X₀.

V = V₀ + a₀ t.

X = a₀ t²/2 + X₀.

V = a₀ t.

0 = a₀/2 t² + X₀ → t² = -X₀/a₀ 2 → t = √(-X₀ · 2/a₀).

t = √(+10.0 · 2/+9,8 m/s²) = 1,43 s.

Tempo che impiega a fare 10 m.

V = Q₀ · t.

V = -9,8 m/s² · 2, = -16,0 m/s (V ≈ -50,4 km/h).

Esempio: semaforo

2. Ad un semaforo ci sono 2 veicoli.

Auto che parte da ferma si muove con a = 4,00 m/s².

Il camion parte dall’istante X₀ = 0 ad una determina velocità.

Vo_camion = 5,00 m/s.

X_0camion = 0.

1. In che tempo auto raggiunge camion?
2. Velocità camion e auto al tempo incrocio t_in?

X_camion = Vo_c · t.

X_auto = Q₀t².

X_c = X_a.

Vo_c · t = Q₀t²/2.

0 = Vo_ct - Q₀t²/2.

t₂ = 2 · 5,00 m/s; 1,00 m/s² = 10,0 s.

1) V₀a = a₀ = t.

V₀ = 5 m/s.

Partendo da accelerazione trovare V e posizione inversa

x → posizione.

Velocità → V.

Accelerazione → a.

Integrale: trovare la V facendo alle ed integrando e conoscendo la posizione iniziale.

∫₀^t a = ∫₀^t dV/dt'.

V(t') = V(t) - V(t = 0).

V(t = 0) = V₀.

=> V(t) = V₀ + ∫ a(t') dt'.

Vale anche per lo spazio.

∫₀^t V dt' = ∫₀^t dx/dt'.

x(t') = x(t) - x(t = 0).

=> x(t) = x₀ + ∫₀^t V(t') dt'.

Moto uniformemente accelerato

a = a₀ costante nel tempo.

V? X?

V(t = 0) = V₀.

X (t = 0) = X₀.

V = V₀ + ∫₀^t a(t') dt'.

Riporto le leggi orarie.

V = V₀ + ∫₀^t a₀ t' = V₀ + a₀ t.

X = X₀ + ∫₀^t V₀ + a₀ t' dt'.

X = X₀ + ∫₀^t V₀ t' + a₀t'² /2.

X = X₀ + V₀t' + a₀t'²/2.

Descrivere il moto in 2 dimensioni

Velocità vettoriale

Velocità vettoriale: r = x i + y j.

D_r il = _ri velocità vettoriale.

x definire derivata: d_r/dt = _v velocità vettoriale.

v_media = (r_f - r_i) / Δt → differenza tra vettori.

l è il vettore che connette il punto due e alla punto due.

v = lim ^{Δt → 0} [r_i(t_i + Δt) - r_i(t)] / Δt.

= lim ^{Δt → 0} [x(t + Δt)i - x(t)i + y(t + Δt)j - y(t)j] / Δt.

= [lim ^{Δt → 0} x(t + Δt) - x(t)] / Δt i + [lim ^{Δt → 0} y(t + Δt) - y(t)] / Δt j.

= V_x i + V_y j.

Velocità istantanea.

Per ottenere che:

V_x = dx/dt.

V_y = dy/dt.