Tutte le possibili domande di teoria con le rispettive risposte del corso di Solidi

Lemma di Cauchy

Sia dato un cilindro di altezza h e raggio di base r. Sia _{Δm Δt t(x)}: vettore delle tensioni di Cauchy ΔA→0 ΔA. Se ho equilibrio ⟹ vale la relazione -t_n = t · n.

Costruzione del cilindro

Scrivo l'equazione di equilibrio delle forze:

∫ t_n da + ∫ t · n da + ∫₀^2πr ∫₀^h t_r ds dh = 0

t_n da + t · n da + 2πr h t_r = 0

Quindi, t_n da + t · n da = 0 ⟹ t_n = t · n.

Teoria di Cauchy-Poisson e formula di Cauchy

Sia _β un corpo in equilibrio sotto le forze di massa e superficie. E sia P un punto interno a _β. Se sono note le tensioni t_p lungo 3 piani ortogonali (-_i, -_j, -_k, _n), è possibile conoscere la tensione t_n, lungo un qualsiasi altro piano di normale n, tramite la relazione:

t_n = T · n.

Costruzione del tetraedro

Costruisco il tetraedro di centro P, con normali (-_i, -_j, -_k, _n). Impongo equilibrio sul tetraedro:

t_e dA_e + t_e dA_e + t_e dA_e + t_n dA_n + b dV = 0

Utilizzo il lemma di Cauchy:

-t_dA1 dA₁ - t_dA2 dA₂ - t_dA3 dA₃ + t_dAn dA_n = 0

t_n = n₁ t₁ + n₂ t₂ + n₃ t₃

Formula di Cauchy: T = [ t_s, t_t, t₃ ].

Formule dell'equilibrio indefinito nel continuo di Cauchy

Sia t_n: vettore tensione di Cauchy in direzione n. Sia _β un corpo in equilibrio sotto le forze di massa e superficie. Scrivo l'equazione delle forze:

F_o - ∫₀⁰ t_b dA + ∫₀⁰ b dV = 0

F_o - ∫ (δt_ij / δx_j + b) dV = 0 ⟹ (δt_ij / δx_j + b) = 0.

Secondo lemma di Cauchy

Sia dato un cilindro di altezza h e raggio di base r. Sia _{Δm Δt} = f(x): vettore delle tensioni di Cauchy _{ΔA→0 ΔA}. Se ho equilibrio => vale la relazione _{-tn = t·n}.

Costruzione del cilindro e formule di equilibrio

Scrivo l'equazione di equilibrio delle forze: ∫t_n dA + ∫_t·n dA + ∫^2π_r h r_t·r ds dθ =^A=0_A=r 0 → ⇒ ∫t dA + ∫^_t·n dA = (t_n+t·n_da) = 0.

Teoria di Cauchy-Poisson e formula di Cauchy

Sia _β un corpo in equilibrio sotto le forze di massa e superficie. E sia P un punto interno a β. Se sono note le tensioni in P lungo 3 piani ortogonali (-i,-j,-k- n̂), è possibile conoscere la tensione t_n, lungo un qualsiasi altro piano di normale n̂, tramite la relazione:

t_n = T· n̂.

Costruzione del tetraedro

Costruisco il tetraedro di centro P, con normali (-i, -j, -k, n̂). Impongo equilibrio sul tetraedro. Utilizzo il lemma di Cauchy:

∫t_t dA₁ - t₂ dA₂ = t₃ dA₃ + t_n dA_n = 0.

t_n = t₁ dA₁ + t₂ dA₂ + t₃ dA₃.

Introduzione al tensore di Cauchy

T = [t_s, t₃, t_u] = [_σ11 σ₁₂ σ₁₃ ] [_σ21 σ₂₂ σ₂₃ ] [_σ31 σ₃₂ σ₃₃ ].

Formule dell'equilibrio indefinito nel continuo di Cauchy

Sia t_n: vettore tensione di Cauchy in direzione n. Sia _β un corpo in equilibrio sotto le forze di massa e superficie. Scrivo l'equazione delle forze:

_F0 - ∫t_t dA + ρ_g bdv = 0.

Uso il teorema della divergenza: ⇒ ∫ (∂t_j + b) dv = 0_∂xj.

Equilibrio del momento

Scrivo equilibrio del momento: H₀ = ∫_∂Ωe x_in_jdA + ∫_Ωe x_ibdV = 0.

Uso il teorema della divergenza:

∫_∂Ωe x_it_jdA = ∫_∂Ωe n_j(x_it_j)dA = ∫_Ωe d(x_it_j)_,j dV = ∫_Ωe ∂(x_i)/∂x_j t_jdV = ∫_Ωe (δ_ij t_j + x_i∂t_j/∂x_j)dV

⇒ H₀ = ∫_Ωe (ε_ij t_j + x_i ∂t_j/∂x_j)dV.