Terza parte appunti Fisica 2

ELETTRODINAMICA

Equazioni di Maxwell e equazioni fondamentali dell elettromagnetismo

Nel 185 Coulomb da inizio allo studio dell elettrostatica che culmina nel 1862 con Maxwell

Sappiamo che:

div B = 0

div E = p / epsilon₀

rot E + dB/dt = 0

rot B = mu₀j

e d rho/dt + div j = 0

Vanno anche in condizioni dinamiche? Le due equazioni sono in conflitto tra di loro perche in condizioni dinamiche d rho/dt != 0

Applico a rot B la divergenza, otteniamo:

0 = div(rot B) = mu₀div j = - mu₀ d rho/dt != 0 -> ASSURDO, nel caso generale l eq di Ampere non e autocosistente

esempi (inconsist eq Ampere)

a) p dipende dal tempo per una carica che compie un moto arbitrario

b) div j = 0 => integral j dS = Phi(j) = 0 ma questa condizione viene violata dal condensatore

=> Phi(j) = -I != 0

Per ovviare al problema, nel 1862 Maxwell cerca una modifica consistente dell eq di Ampere

cerchiamo w: rot B = mu₀j + w

Rifacciamo il conto di prima, tenendo conto delle eq precedenti:

div(rot B) = 0 = div(mu₀j) + div w - mu₀ d rho/dt + div w = 0 => -mu₀ d rho/dt + epsilon₀ div E + div w => div(w - mu₀epsilon₀ dE/dt) = 0

=> w - mu₀epsilon₀ dE/dt = 0 => w = mu₀epsilon₀ dE/dt

Forma definitiva delle equazioni di Maxwell

div B = 0

div E = p / epsilon₀

rot E + dB/dt = 0

rot B = mu₀j + mu₀epsilon₀ dE/dt

equazione di Ampere-Maxwell

Integrando l eq di Ampere-Maxwell su una qualsiasi superficie S con ds = x e otteniamo la forma integrale

integrale

integrale S rot B dS = mu₀ integral S j dS + mu₀epsilon₀ d/dt integral S dE/dt dS = mu₀Is + mu₀epsilon₀ d/dt Phi_S(E)

Quindi la forma integrale dell eq di Ampere-Maxwell e:

integrale S B dtheta = mu₀Is + mu₀epsilon₀ d/dt Phi_S(E)

NB: [epsilon₀ dPhi(E)/dt] = A, per questo prende il nome di corrente di spostamento

Commenti:

1) mu₀epsilon₀ = 1/c², c e velocita della luce => la corrente di spostamento e da considerarsi come un effetto relativistico

2) le eq di Maxwell sono eq differenziali lineari non omogenee in E e B, quindi una loro soluzione e data da una sol. particolare + sol. dell omogenea associata

corrisponde ai campi elettrici e magnetici generati da p e j in modo causale

p = j = 0, vale il pds nel vuoto (onde elettromagn.)

difficile da trovare

3) Le eq. di Maxwell implicano la conservazione della carica elettrica (eq. di continuita', assumendo le eq. di Maxwell come postulato):

0 = div[div x B - mu₀j - mu₀epsilon₀ dE/dt] = -mu₀ div j - mu₀epsilon₀ d/div E/dt = mu₀(div j - d rho/dt)

4) Nel caso di j = 0, cosi' come un campo magnetico B variabile nel tempo crea un campo elettrico, cosi' un campo E variabile nel tempo crea un campo magnetico.

... si ristabilisce la simmetria tra E e B

Esempio

E(t) = E(t)/epsilon₀ = Q(t)/Aepsilon₀, , div x B = mu₀epsilon₀ dE/dt

E(t) = E₀ sin(wt)

le linee di campo di B indotto sono concentriche con quelle di E

Esemplificazione dell' eq. di Ampere-Maxwell nel processo di carica di un condensatore

B = mu₀I/2pi r u_r

div B da' = { mu₀I_S1 + mu₀epsilon₀ d/dt Phi_S1(E)mu₀I_S2 + mu₀epsilon₀ d/dt Phi_S2(E) } = mu₀I

possimo applicarla sia a S1, che a S2

non c'e' nessun campo elettrico

nessuna corrente attraversa S2

sistema di autoconsistenza

Calcoliamo: E = Q/epsilon₀ = Q/Aepsilon₀ => Phi_S2(E) = EA = Q/epsilon₀, quindi vale I_S1 = I = dQ/dt = epsilon₀ dPhi_S2(E)/dt, otteniamo di nuovo mu₀I

5) Campi magnetici vengono generati non solo da correnti j, ma anche da campi elettrici variabili nel tempo

Equazioni fondamentali dell'elettrodinamica

Le equazioni fondamentali dell'elettrodinamica sono le eq. di Maxwell, in aggiunta alle N eq. di Lorentz:

m a_j = q_j(E(t,r_j(t)) + v_j(t) x B(t,r_j(t)))

le incognite del sistema sono le variabili {E(t,x), B(t,x), r_j(t) per j=1,...,N}. Le eq. di Maxwell determinano E e B, note r_j(t), mentre le eq. di Lorentz determinano r_j(t) ma non E,B =>