Teoria di Fondamenti di meccanica teorica ed applicata

Richiami di cinematica del punto

Posizione

p = xî + yĵ + zk̂

Velocità

V_p = ^dp/_dt = ẋî + ẏĵ + żk̂

Accelerazione

a_p = ^dV_p/_dt = ^dp/_dt = ẍî + ÿĵ + z̈k̂

Il problema di ricavare la legge di moto a partire dalla velocità o dall’accelerazione di un punto si risolve tramite integrazione:

• V_p = ∫₀^t a_p dt + V_p0
• P = ∫₀^t V_p dt + P₀

Moto rettilineo

Uniforme

• a = ẍ = 0
• v = ẋ = cost
• x = x₀ + ∫₀^t v dt = x₀ + vt

Uniformemente accelerato

• a = ẍ = cost
• v = ẋ = v₀ + ∫₀^t a dt = v₀ + at
• x = x₀ + ∫₀^t v dt = x₀ + v₀t + ^at2/₂

Richiami di cinematica del punto (ripetizione)

Posizione

p̅(t) = _{(x y z)} = xî + yĵ + zk̂

Velocità

v̅_p = d_p̅/dt = _{(ẋ ẏ ż)} = ẋî + ẏĵ + żk̂

Accelerazione

a̅_p = dv̅_p/dt = d²_p̅/dt² = _{(ẍ ÿ z̈)} = ẍî + ÿĵ + z̈k̂

a̅_p = √(ẍ² + ÿ² + z̈²)

Il problema di ricavare la legge di moto a partire dalla velocità o dall’accelerazione di un punto si risolve tramite integrazione:

• v̅_p = ∫₀^t a̅_p dt + v̅_p0
• p̅ = ∫₀^t v̅_p dt + p̅₀

Moto rettilineo

Uniforme

• a = ẍ = 0
• v = ẋ = cost
• x = x₀ + ∫₀^t v dt = x₀ + vt

Uniformemente accelerato

• a = ẍ = cost
• v = ẋ = v₀ + ∫₀^t a dt = v₀ + at
• x = x₀ + ∫₀^t v dt = x₀ + v₀t + ^at2/₂

Moto balistico

Moto bidimensionale sul piano verticale. Si definisce gittata la distanza x_f - x_o.

• P = ^[ _-g ^]
• v_P = ^[ _{v0cos v0sen-gt} ^]
• P = \left[ \begin{matrix} x_o+v₀cos t \\ y_o+v₀sen t-\frac{1}{2}g t² \end{matrix} \right]

Ascissa curvilinea

Punto vincolato a muoversi lungo una traiettoria fissa s(t)

• P = \left[ \begin{matrix} x(s(t)) \\ y(s(t)) \\ z(s(t)) \end{matrix} \right]
• v_p = \frac{dP}{dt} = \frac{dP}{ds}s' = \left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \end{matrix} \right]
• P = \frac{dP}{ds}s' + \frac{d²P}{ds²}s'²

Moto circolare

Moto di un punto vincolato a percorrere una traiettoria circolare.

• P = \left[ \begin{matrix} x(t) \\ y(t) \end{matrix} \right] = r \left[ \begin{matrix} cos(t) \\ sen(t) \end{matrix} \right]
• v_P = \frac{dP}{dt} = r \left[ \begin{matrix} -sen \\ cos \end{matrix} \right] = \hat{t}(t)
• Velocità angolare: p = \frac{d}{dp}² = r \left[ \begin{matrix} -cos \\ -sen \end{matrix} \right] - r \left[ \begin{matrix} sen \\ -cos \end{matrix} \right]² = \hat{t} - \hat{n}²
• p_,t => acc. tangenziale
• p_,n => acc. centripeta

Cinematica vincoli e gradi di libertà

• La principale caratteristica dei sistemi meccanici è quella di essere costituiti da vari corpi (membri) collegati fra loro in modo continuo.
• L'inasprimento di tali vincoli riduce le possibilità di movimenti di ciascun membro relativo rispetto agli altri, ossia limita i gradi di libertà del singolo membro e di tutto il sistema cinematico.
• La posa relativa tra i due corpi in assenza di vincoli è espressa da 6 g.d.l.:
• 3 componenti cartesiane per definire il posizionamento relativo delle due torsioni (A e B) lungo i 3 assi coordinati
• 3 parametri indipendenti (es. angoli) per definire l'orientamento relativo delle due torsioni nelle 3 direzioni dello spazio