Teoria delle misure

Teoria delle misure

Osservazioni (misure)

È essenziale una gran quantità che può corrispondere o meno alla misura indicata.

Si può distinguere in 3 tipi di osservazioni.

Osservazioni dirette

Vengono effettuate direttamente dal campione che si sta misurando (lunghezza, area, volume, cm).

Osservazioni indirette

Fenomeni non legati direttamente ma piuttosto conseguenze della grandezza del campione.

Non direttamente misurabile se non mediante una formula.

Osservazioni concomitanti

Le stesse osservazioni concomitanti portano a dover definire una misura avendo una condizione.

Triangolo: considerando il terzo lato calcolare l’area con la sola base ang. ini. diametro 5, 120°.

Misure analitiche

1. Parte con il risultato (in misura lineare) che non rispetta il valore vero.
2. Non esiste una misura vera.

La differenza tra il valore misurato (X) e quello vero (θ) è detta errore totale (η).

η = X - θ

Errore totale.

Singola misura.

Valore vero.

Lo scopo della topografia è ridurre al minimo l’errore (stessa misura) determinanti misure.

Teoria delle misure

Osservazioni (misure)

È assegnare una certa quantità che può corrispondere o meno alla misura indicata.

Si può distinguere in tipo di osservazione:

Osservazioni dirette

Vengono come distanziamento del campione che è data misurando.

Osservazioni indirette

Vengono fuori molto attraverso una diretta misurazione della grandezza del campione mandata determinata mediante una formula.

Osservazioni condizionate

Le dette osservazioni condizionate portano a dovere determinare una misura assegnando una condizione.

(Esempio: condizionati in rettangolo area sempre che somma degli ang. interni è 360°.)

Misure americhe

1. Parte con il risultato (in misurazione) che non sapesse valore vero.
2. Non esiste una misura vera.

La differenza tra il valore misurato (X) e quello vero (Θ) è detta errore totale (h).

h = X - Θ

Errore totale.

Singola misura.

Valore vero.

Lo scopo della topografia è ridurre al minimo l'errore (stima misura) dei parametri misure.

Errori

Un fenomeno di misura si classificano in:

• Grossolani: Errore sproporzionato rispetto alla norma (non vengono mai usati nella teoria dei campi). Errore dell'operatore.
• Sistematici: Errore di tipo strumentale. Si presenta con sistematicità. È facile eliminarlo.
• Accidentali: Errore di cui non si sa la causa che li ha generato. Per questo tipo di errore si introduce la teoria degli errori della matematica probabilistica. Non esiste una legge che mostri perché questo evento sia accaduto.

Precisione < Accuratezza.

In un'analisi statistica sono sempre fondamentali (ogni accuratezza dei risultati).

La precisione è correlata all'accuratezza.

Momenti delle variabili aleatorie

Momenti a 2 moda VD di ordine media

m = H(x) = ∑_i=1ⁿ x_i × p_i

m = H(x) = ∫ x φ(x) dx

Momento di 2° ordine

σ² = H(v) = ∑_i=1ⁿ (x_i − m)² p_i

σ² = H(v) = ∫ (x - m)² φ(x) dx

Varianza

Permette di identificare i cambiamenti di tutti i valori numerali, e di come questi si distribuiscono attorno alla media.

Le 2 variabili rappresentano il cambiare in oggetto.

Rappresenta il quadrato degli scarti per la pi.

Radice quadrata della varianza = scarto quadrato medio (scarto quadrato medio) (deviazione standard).

Rappresenta con il segno + e -, rimanendo entro il catanoi, quale potrebbe essere un valore della media è possibile.

Proprietà dei numeri per variabili indipendenti

1. Il valore medio di una variabile aleatoria somma (o diff) è la somma degli zei mesli.
2. Il valore medio di una variabile aeratira il hodo cio n è (1, prodotto di valor medi).
3. La varianza di una variabile aleatoria somma (o diff) è la somma delle varianze.

Legge di propagazione riuerativa delle varianze

Si & verifica una valiabile somma (o dipf) per in cosegfient ciascuna versa moltiplicata per, il coefficiente.

La legge della propagatzone delle uarianza afferma chs la variamza somma quanauta è dara da var polunio attarunisoe coefficienti sanu:

o² (3) = a² σ² (4) + b² σ² (4) c² σ² (2)

Cosa succede se le variabili sono dipendenti!

53. Quando 3 varizuie variahesse tutvzzm taici io she muiovle meduse nano loodinhain queth casua coordinata Y soma interla variazìa & liucunza.

Proprietà dei numeri per variabili dipendenti

Quando le variabili soon tai di lori hpendena non è pi4. Fuori condizionare vars nella, varianzyiciale si raurbine somma se 5-1 zsowa wells varianze la varianza si deve complemente 4 factu che tai di conaux in intertavarianzi.

Ie varianza somma tai he variabili dipenoent! 2 m arlia delry 3ma 4 meoia della sie princ variabili esjenarcha da ptmma foita, pole uno ueirirot inodna use 15 statisuram rigia X la mddait X a psc mekit;

Ng σ² (5) = i + o² (x) + o² (y) + 25 IY en o†oy (x4) - H (X) o H (Y)

Covarianza molto miehtari $ c inevet osa d, empient di conflicduancoto lvariamia iviendut yaw 10 ledcir, di compunezza.

p = (Ԙ (x )) + = Het ook ) & cosa vovarienza jreoduct dat erlennt 18 cecroininis? naslu delle Thematke.

Distribuzione nomale

Se è possibile rappresentare la popolazione delle misure una legge che può descrivere la popolazione è la legge di distribuzione di Gauss.

Quando si usa questa approssimazione le variabili legata alla misure sono rappresentabili quando si usa un diagramma unico universalmente centrato lungo tutte le misure sono possibili.

5 data una 7 simmetria della funzione.

La curva di Gauss è una curva simmetrica in cui l’asse x è iscritto è rappresentata la media.

È poi ci sono i punti di flesso rappresentati da δ δ-δ.

36 è tolleranzia (al massimo del valore di uno) poi il valore 36 la curva f(x) asintoticamente a ∞ ∞.

Se δ è uguale la curva diagonale (se δ è elevanta) noi tendiamo ad ottenere una curva e alla sinistra rossoliera.

La Gaussiana è una distribuzione di Gauss è considerata anche probabilità è una variabile f(x).

La funzione di x può essere espressa esponenziale come:

φ(x) = ¹/_σ√2π e^-(x-m)2/_2σ²

Esponenziale.

Distribuzione normale

σ più piccola possibile = i punti sono concentrati intorno alla media.

σ grande = i punti sono dispersi.

μ e σ → sono 2 parametri che caratterizzano la distribuzione.

Distribuzione standardizzata

Quando la media è nulla e σ=1^N(0,1).

1. 68.26% della popolazione si trova nell’intervallo μ±σ.
2. 95.44% della popolazione si trova nell’intervallo μ±2σ.
3. 99.74% della popolazione si trova nell’intervallo μ±3σ.

Demo gle junnon gnecsollan

Sistemi di parametrìzza della distribuzione.

Principio di massima verosimiglianza

Per poter effettuare la guida dicaso al fine di determinare una congiunzione che sia buona alla ↑cument i paramet di Ø principio di massima ↑osomiglianza.

Questo criterio è... applicato a qualsiasi distribuzione.

Afferma che se xi hanno h valore osservati x₁, x₀ e che dipendono da parametri θ₁...θr.

Se questi sono indipendenti o delle variabili allora si può descrivere usando dal principio di massima verosq liglianza.

x₁, x₂,...x₁ ⇙ q paramenti.

Siam arivarma alla probabilità che ciascuna variabile ha:

P(x₁,...xn ϴ₁...ϴ_r) = P(x₁)....P(xn)

Stabilisce che i valori più verosimili sono quelli che assumono massima la funzioni.

La funzione è massima dove la derivata è nulla.

dP-- = 0
dθr

Principio dei minimi quadrati

Questo principio (principio massimo verosimiglianza) si applica alla distribuzione normale di Gauss.

Si ha che le variabili sono gli n esami che stiamo a valutare.

I parametri sono m e σ.

Quindi il principio di verosimiglianza applicato alla semigauss distribuzione di Gauss:

p(x=x₁, m, σ²) = (1 / σ_n(√(2π)ⁿ)) e^{-Σ(x_i-m)2/(2σ2)}

Il principio di massima verosimiglianza afferma che i valori più probabili sono quelli che tra i valori possibili hanno la funzione di massima verosimiglianza.

Quindi una funzione è massima se vale 0 e la sua derivata è nulla.

(Le variabili sono contenute all'interno dell'esponenziale.)

Principio dei minimi quadrati

Quando si stima che:

(Σ_(i=1)ⁿ (x_i-m)² = (Σ_(t=1)ⁿ (v_t-m)²) deve essere minima.

Una somma: Σ(x_i-m)²

Quindi la derivata (x_i-m))² fatta rispetto a Σ_(t=1)ⁿ (x_t-m)² = 0.

dΣ(x_t-m)²/dm quindi nulla.

Applicando il principio dei minimi quadrati alla funzione si può avere una stima del m es tanto che m è una stima del valore:

m=Σx_i/n

In questo caso stiamo ipotizzando che ciascuna misura abbia lo stesso peso.

Quando la variabile mancante è una parte isolata dalle misure che hanno io stesso peso.

σ² = Σ(x_t-m)² / n-(1)

Per estrarre una stima.

(Re: per tutte le variabili il valore ottenuto.)

Pesi

Il peso di una variabile X può calcolarsi facendo il rapporto fra:

_pc = ^σ_v2/_σc²

σ_c² = varianza della quantità vinta.

P (x_i =...m...σ_v²..._i) = [ ]e∑ _k p_i(x_i-m_m)²/_2m

Media e varianza dell'unità di peso

M_i^p = σ_i² = ^{∑_i p_i σ2_c}/_{h - 1}