Teoria dei circuiti

Teoria dei circuiti

Diversi elementi connessi tra loro attraverso "conduttori ideali" ^LC (conc. circuiti) con resistività nulla o conducibilità infinita. Cond = 0_Rcond¹/_Res.

Ipotesi

1. ^d/_dt e ^d2/_dt² 0 e ^d2/_dt² 0 (Vare all'esterno ai componenti)
2. Vc = 0 alcuno potranno considerarlo come un altro componente
3. Se (-) di conta da proprietà (Pote si distribuzione corrente) ^t₀
4. Lunghezza d'onda circuito L_C >> λ
5. Approssimazione a parametri concentrati

Quando queste due ipotesi sono vere possiamo studiare la teoria dei circuiti:

1. λ = ^c/_f
2. Velocità _luce
3. Frequenza

Esempi

f = 40 kHz
C = ^3·108m/s / _8·3·10⁶m
Se LC 20 cm = L_C << λ non c'è propagazione del segnale non velocità di tensione ad esempio

Esempio – Schema audio

L_C = 10⁴/10 mf_max = 25 kHz
C = ^{3·108 km} / _2,5·10⁴ = seconda ipotesi valida; L_C << λ

Esempio – Schema madre

L_C = 10⁴/200 mf_max = 1 GHz
C = ^{3·108 km} / _{0,3 m} = L_C > λ, seconda ipotesi non confermata

Esempio – Rete elettrica

f = 50 Hz = 6000 km
Linee di trasmissione _{LC 10⁸ km} no teoria dei circuiti
Elettrosfessico, 10^-9s = Teoria dei circuiti

L.C. (leggi circuitali)

Diversi elementi connessi tra loro attraverso "conduttori ideali". (1) Resistenza nulla o (2) Conducibilità infinita.

Ipotesi

1. d e d²d/dt² :(Vare all'esterno ai componenti)
2. di/dt e d²i/dt² :Assenza nello spazio, allora possiamo considerarlo come un altro componente
3. Ma se de/dt ≠ 0 e dati: Dobbiamo (fallo ci siamo questo campo) l_c ≪ lunghezza d'onda del circuito

Approssimazione a parametri concentrati. Quando queste 2 ipotesi sono vere possiamo studiare la teoria dei circuiti:

λ c = velocità luce
λ = c / f frequenza

Esempio

λ =:10 kHz
c =:300 MHz
λ = c / f
Long ≪ L_c ≪ λ
Non c'è propagazione del segnale — non voglio cambio di tensione in esterno

Esempio – Schema audio

L_c = 10⁴ / 10 m f_max = 25 kHz
c = 3 * 10⁴ / 300^-1 km → seconda ipotesi valida: L_c ≪ λ

Esempio – Schema madre

L_c = 10² / 10^-2 mf_max = 1 GHz
c = 3 * 10⁸ / 300^-2 m → L_c, seconda ipotesi non confermata

Esempio – Rete elettrica

f = 50 Hz → L = 6000 Km
Linee di trasmissione L_c ≈ 10⁸ km → no teoria dei circuiti
Elettrofesensico | 10⁶ m | → 5′

Potenza e energia nei circuiti

Potenzap(t) = v(t) . i(t)
Energiaw(t) = ∫ p(t) dt

Convezioni da adottare

• V_a:V_b
• Convezione dell'utilizzatore
• Convezione del generatore

p(t) < 0: potenza assorbita
p(t) > 0: pot. erogata

Esempio

Batteria ricaricabile durante la fase di scarica e carica.

Risoluzione di un circuito

Risolvere un circuito: calcolare la v(t) e i(t) di tutti i componenti.

1. Leggi di Kirchoff
2. Leggi costitutive

Prima legge di Kirchoff

La somma delle tensioni di maglia è pari a 0
∑v_k = 0
3 maglie = 3 equazioni
V₁; V₂; V₄; V₅ – V₃

Seconda legge di Kirchoff

∮_S∂_td^rJ ⋅̂ d_sS = 0 → ∮_S∂_td^rJ ⋅̂ d_sS = 0
La sommatoria delle correnti entranti è pari alla sommatoria delle correnti uscenti
∑_i=1ⁿi = 0
i₁ − i₂ + i₃ − i₄ = 0
i₁ + i₂ − i₃ − i₆ = 0
i₃ + i₄ + i₆ − i₅ = 0

Esempio di legge di Kirchoff

LKC: i₁ + i₂ + i₃ = 0
v_i = v₂i + v_i
Vp_t = p₁ + p₂ + p₃

Teorema di Tellegen

∑_k=1ⁿp_kⁱt = ∑_k=1ⁿp_k^jT
Potenza erogata dal generatore = potenza assorbita dall'utilizzatore

Componenti elettrici

Classificazione

1. Passivi: ∫_t0^t1p(t)dt ≥ 0 (Energia assorbita)
2. Attivi: ∫_t0^t1p(t)dt ≥ 0 (Energia erogata)
3. α) Controllati in tensione: i = v·f(v)
4. b) Controllati in corrente: v = v·f(i)

Senza memoria e con memoria

Resistore

Simbolo: G ↓ conduttanza [S]
Legge costitutiva: v = Ri
R = ρ_l/e
i(t) = v(t)/R
2^a legge di Ohm: v(t) = i(t)R
1^a legge di Ohm
Potenza: p: v · i = Ri ·_o²
Effetto Joule
Energia
Componente passivo
R se R = 0 è cortocircuito R = R ∞ è circomando aperto

Resistenze in serie

R = ∑_{k = 1}ⁿR_k
R = 1/i ∑_{k = 1}ⁿV_x

Resistenze in parallelo

1/R = ∑_{k = 1}ⁿ1/R_k → G = ∑_{k = 1}ⁿG_k

Condensatore

dv/dt
i_c = C (dv/dt)
Q = C v
i = dQ/dt = C dV/dt → i_c = C dv/dt
w_C(t₁) = ½ C v² = V. variabile di stato
Idealmente componente non dissipativo
Non si possono avere variazioni di tensioni istantanee

Condensatore reale

Se V è costante → i_z = 0

Induttore

Simbolo: __________|___
V= L di/dt
ϕ= Li
V= dϕ/dt = L di/dt
p(t)= v(t) i(t)= l(t) di/dt -> Assorbe
W(t1,t2)=∫_t1^t2 p(t) dt=∫_t1^t2 l(t) di/dt dt= (1/2)L[I₂²] _t1^t2 è variabile di stato
(t)||||_________i2 o v o p0 NO POSSIBILE-> Non si possono avere variazioni istantanee di corrente

Induttore reale

Perdite di conduzione
Effetto Joule
Dispersione di campo magnetico

Condensatori in parallelo

(i₁=i,₂=i₃=i)
∫_T[dv/dt = c₁ dv₁/dt + c₂ dv₂/dt + c₃ dv₃/dt = dv/dt (c₁ + c₂ + c₃)
C=Σ^N_K=1C_K

Condensatori in serie

v₁-V₃+v₃=v=∫1/LC∫dv/dt -∫dv/d_v(v)₂
V=V₁+v₂+v₃
dv/dt= dv₁/dt+dv₂/dtdv₃/dt
L=(1/c₁ + 1/c₂ + 1/c₃)^-1
1/c =Σ^N_K=11/C_K

Induttori in serie

_iL_{1 i}L_{2 i}L_{3 i}
V = V₁ V₂ V₃ = L₁ ^di₁/_dt L₂ ^di₂/_dt L₃ ^di₃/_dt = (L₁ L₂ L₃) ^di/_dt
L = ^E/_di/dt

Induttori in parallelo

V V V₁ V₂ V₃
V = ^di/_dt = ( ^di₁/_dt di₂ ^di₃/_dt) = ( ^V/_L1, ^V₂/_L2, ^V₃/_L3) = V ( ¹/_{L1 L2 L3}) = i/_L
L = ( ¹/_{L1 L2 L3})^-1

Generatore indipendente di tensione

SIMBOLO: e V e = V = ^e/_e^p(t)/_{(t) : t :} ^{= e : i(t)}/_>0 ^EROGA/ ₌ ^ASSORB/_ANTE

Generatore reale (ex batteri)

e i V=0 e=V R= e-Ri^{e - V}/_R, i e - V_R - V = 0
Generatore in serie: e₁ i e₂ i e₃ i V = V₁ V₂
Generatore in parallelo: e₁ V₁ i e₂ V₂ i NON SI PUÒ FARE
V₃ = V₂
SE _R ^{tende a infinito}, i = ^V/_R = 0

Generatore indipendente di corrente

Simbolo: AP(t) = V(t) * i(t) = V(t) * A> 0 erogata
Attivo
Generatore reale (ad esempio fotovoltaico)
i = i_g - i_c = V/R₁ = A - V/R₂

Generatori in parallelo

A_eq = A₁ + A₂ + ... + A_n

Generatore in serie

i₁ = i₂
i_G non si può fare
A₁ = A₂
Se r tende a 0, V = 0
Se r tende a ∞, V = ∞

Generatori dipendenti di tensione

1. Controllato in tensione: V = μ * V_c
2. Controllato in corrente: V = r * i_c^(a)

Generatori dipendenti di corrente

1. Controllato in tensione: i = g * V_c^(c)
2. Controllato in corrente: i = α * i_c^(ic)

Collegamenti particolari

Impedenzia:
R₁ = R = R₁ + R₂
1/R = 1/R₁ + 1/R₂

Stella

1. Come sostituire un circuito a stella a triangolo senza modificare nulla?

Triangolo

Come sostituire un circuito da stella a triangolo senza modificare nulla?
C aperto: R_A + R_B = R_AB // (R_BC + R_CA) = R_AB (R_BC + R_CA) / (R_AB + R_BC + R_CA)
B aperto: R_B + R_C = (R_AB + R_BC) // R_CA
A aperto: R_A + R_C = R_BC // (R_AB + R_CA)

Da triangolo a stella

R_AB, R_BC, R_CA noti
R_A = R_AB R_CA / (R_AB + R_BC + R_CA)
R_B = R_AB R_BC / (R_AB + R_BC + R_CA)
R_C = R_CA R_BC / (R_AB + R_BC + R_CA)

Da stella a triangolo

R_A, R_B, R_C noti
R_AB = (R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A) / R_C
R_BC = (R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A) / R_A
R_CA = (R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A) / R_B

Casi particolari

R_A = R_AB = R_BC = R_CA = R₀ ² / 3 R_A
R_B = R_AB = R_BC = R_CA = R₀ ² / 3 R_B
R_AB = R_BC = R_CA = R₀ ² / 3 R_C

Esercizio 1

R₁ = 10 Ω
R₂ = 1 Ω
R₃ = 3 Ω
R₄ ?
R₁₃ = R₁ + R₃ = 9 / 10 Ω
R_AP = R₄ + R₃ = 10 + 9.9 + 10.9 Ω

Esercizio 2

R₁ = 10 kΩ
R₂ = 10 kΩ
R₃ = 15 kΩ
R₄ = 40 kΩ
R₄ ?
R_AP = 18,34 kΩ

Esercizio 3

R_eq = R₂ + 10 m Ω
R₃, R₄, R₅ = R₁ = 20 m Ω
R₂₅ = 10 m Ω → R_AB = R₁₄ + R₂₅ = 30 m Ω

Esercizio 6

R1 = 1 k Ω
R2 = 6 k Ω
R3 = 12 k Ω
R4 = 12 k Ω
R316 = 1 k Ω
Req = 1/R4 + 1/R25 = 1.1/106 x 3.104 Ω

Esercizio 5

R₁ = 30 x = R₃ = R₄ = R₅
R₂ = 15 Ω
Diverso nelle soluzioni!
R₆ = ¹/_{R3 x R2} = R₀ = 240 Ω

Esercizio 8

R₁ = 2 Ω
R₃ = 2 Ω
R₇ = 8 Ω
R₅ = 5 Ω
R₂₃ = 6 Ω
R_eq = R₁ + R₂ + R₅₄₆ = 2.2 Ω