Teoria completa di Meccanica aerospaziale

Def. corpo rigido

Per qualsiasi punto:

AB² = (B - A)(B - A)

AB = costante nel tempo ∀A,B

Questa è la condizione fondamentale, da qui derivano altre proprietà:

θ = cost nel tempo

BC² = AB² + AC² - 2ABAC cosθ

cosθ = (BC² - AB² - AC²) / -2BAC

Formula di Carnot

La velocità sull'interasse è uguale in tutti i punti

V̅_A (B - A) / AB = V̅_B (B - A) / AB

versored/dt AB² = 0 ⇔ (d/dt (B - A))(B - A) + (B - A)(d/dt (B - A)) = 0

2(d/dt (B - A))(B - A) = 0

2(V̅_B - V̅_A)(B - A) = 0

V̅_B (B - A) = V̅_A (B - A)

Atto di moto rettotraslatorio C.R.

V̅_B = V̅_A + ω̅ ∧ (B - A)

Con ω̅ che può dipendere dal tempo ma non dai punti scelti

Dim per c.r. 2D:

(B - A) = (AB cosθ, AB sinθ)

Derivo:

V̅_B - V̅_A = (-θ̇AB sinθ, θ̇AB cosθ)

Scelgo ω̅ = θ̇ k̅, se faccio ω̅ ∧ (B - A)

Ottengo la stessa espressione di V̅_B - V̅_A:

ω̅ ∧ (B - A) = θ̇ k̅ ∧ (AB cosθ i̅ + AB sinθ j̅)

= θ̇AB cosθ j̅ - θ̇AB sinθ i̅

Dim che ω̅ è uguale per tutti i punti:

Prendiamo quindi in considerazione altri due punti C e D:

H = punto di inters. delle due rette

Analizzo ΔHC:

β + α - θ + φ = π

Derivo:

β̇ + α̇ - θ̇ + φ̇ = 0

β e α sono cost. per def. di C.R.

Quindi: β̇ = α̇ = 0

θ̇ = φ̇

Def. corpo rigido

Per qualsiasi punto:

AB² = (B-A) (B-A)

AB = costante nel tempo ∀A,B

Questa è la condizione fondamentale, da qui derivano altre proprietà:

θ = cost nel tempo

BC² = AB² + AC² - 2ABACcosθ

cosθ = (BC² - AB² - AC²) / -2BAC{cost}

La velocità sull'interasse è uguale in tutti i punti

V̅_A (B-A) / AB = V̅_B (B-A) / AB

d/dt AB² = 0 ⟷ d/dt (B-A)(B-A) + (B-A)d/dt (B-A) = 0

2/dt (B-A)(B-A) = 0

2(V̅_B - V̅_A)(B-A) = 0

V̅_B (B-A) = V̅_A (B-A)

Atto di moto rettotraslatorio C.R.

V̅_B = V̅_A + ω̅∧(B-A)

Con ω̅ che può dipendere dal tempo ma non dai punti scelti

Dim per c.r. 2D:

(B-A) - (ABcosθ, ABsinθ)

Derivo:

V̅_B - V̅_A = (-θ̇ABsinθ, θ̇ABcosθ)

Scelgo ω̅ = θ̇_k, se faccio ω̅∧(B-A)

Ottengo la stessa espressione di V̅_B - V̅_A:

ω̅∧(B-A) = θ̇_k∧(ABcosθ_i + ABsinθ_j)

= θ̇ABcosθ_j - θ̇ABsinθ_i

Dim che ω̅ è uguale per tutti i punti.

Prendiamo quindi in considerazione altri due punti C ed D:

Analizzo △HC:

β + α - θ + φ = π

Derivo:

β + α̇ - θ̇ + φ̇ = 0

β e α sono cost. per def. di C.R.

Quindi: β̇ = α̇ = 0

θ̇ = φ̇

Teorema di Eulero

Un corpo rigido piano che non trasla, ruota. (non fermo)

Si suppone θ≠0 vogliamo mostrare che ΩC=C.

v_A = v_C + w∧(A-C)

v_A = v_C + Ω∧p

v_A = w∧[ω∧p] = w∧v_A

p = w/ω[ω∧(A-C)], w∧[ω∧(A-C)] = ω∧p

w∧[(a-c) - w∧(a-c)] = w∧v_A

w = wZ = (a-c) = w∧v_A

(c-a) = w∧V_A/w_Z

v̅_P = x_aı̅ + y_a/w∧V_A = ẋ_a/ - ŷ-sub>a/ + βγ∧(C-A).

(x_C-x_A) + (y_C-y_A)

x_C - x_A = ẋ/ωZ

y_C - y_A = ŷ/ωZ

Coordinate del centro di rotazione

y_C - y_A = φ̇/ωZ

x_C - x_A = φ̇/ωZ

Teorema di Chasles - Costruzione

hp: V_A non // V_B, note A e B

v_A = ω∧(a-c), se C il centro di rotazione, V_C = 0

V_A = w∧(a-c)

Ti punto C per asse 1 o V_A deve essere sulla retta per forza.

Vincoli

V_B = V_A + w∧(B-A)

Vincolo oggetto che limita la possibilità di movimento di un sistema

• 3 coordinate libere
• 6 gradi di libertà

Vincolo oggetto che limita la possibilità di movimento di un sistema

f_i(x, P_n, t)=0 i = 1,...,m

• P: punti
• v: velocità
• t: tempo

Legge interna

Ogni eq. toglie un grado di libertà

Vincolo unilatero/bilatero

f_i(P_i, P_n, v_i, v_n, t) ≥ 0

Vincoli fissi/mobili