Teoria Analisi B - prima parte

Euclidea euclidea metrica topologia e arote sponferi

Un scalare interno di IR un'applicazione prodotto è prodotto IRM IR IR.

Prodotto interno

Con le proprietà seguenti IRM Ax e I e ex xx o oe o.

• I IRMOXX Simmetria Yy E IR IRM II XX Z.
• Linearità WX.y.EEEX XEE EE Ze ey y.

Se im diremo di firm intern interno che è e è un prodotto spazio prodotto con Prodotto interno Euclideo Rm.

Il interno così euclideo in definita l'applicazione prodotto è II IREAxx y x Xmy YnY Y.

Norma euclidea

Norma Euclidea. La è l'applicazione norma Il IRM11 IR II XIIl XX IRXII XX EXmx.

Con le proprietà seguenti IRM11I U Iix1170 oIIXE e xoEIRM IRXIIIII 11XXII DX XEXII eK IRMIII IlXIIE DI1 Disuguaglianza Schwarz EX 11411 YX Cauchy y IRMIl E XXIlII 11 E Triangolare XII Disuguaglianza 11411y.

Dimostrazione della disuguaglianza di Schwarz di Cauchy

Dimostrazione della Schwarz di disuguaglianza Cauchy Sia X EIRIRE e x y NYITE 112 111IlO 24Il XXy XII y12112,1 di è 11 11 Xse 7011 2 una disuguaglianza in grado x yaxtabt.cz La è 1211 tutta 2,1 contenuta nel 11 III1 1111 quadrante e ex I I11211411 IIEO IlEA IO4114 Xx Yyy.

Dimostrazione disuguaglianza triangolare

Dimostrazione triangolare disuguaglianza Sia IRM I IlI EE e XX Y Y112 11124112 112E2E 11 110 111121111 x 1111411 1111411 11411y dato che l 11111120 1141120e y e11 111111 11E411.

Distanza euclidea

Distanza Euclidea. La l'applicazione distanza Euclidea è IRMd IR IR nel che modo seguente opera EId Ax IRil il exx Ey Xxy Yeyy Xm y Ynx y.

Con le proprietà seguenti d dinkI 70 x Xx e oyeyy x yd kdII EIR Simmetria Yx Xy y IRMd kdEII d Disuguaglianza triangolare Z 7,4x EZy xx y.

Dimostrazione disuguaglianza triangolare

Dimostrazione triangolare disuguaglianza Sia IR 111111 11411 E 11E ex yd dIl ZII AH11Il EIl IlZz Y11 Z YZx YIy y.

Palla

Definizione Irm Siamo IRrerso EXo e Definiamo centro la l'insieme di palla palla aperta en r raggio oIRMB d tYo Er Xox dove Euclidea d la è distanza.

Definizione di punto interno e insieme aperto

Definizione interno insieme punto e aperto Sia A EIR Diciamo che IE BA di EA t.c la interno E punto è un Xoose Indichiamo con Aint A AdiE punto interno a Xo Xo l'insieme interni A dei in punti.

Diciamo l'insieme A che aperto è se int AACioè di AA interno punto è se di punto ogni Esempio Sono IN1km E a0 insiemi chiusi aperti insiemi invece sono e e aderente punto.

Definizione frontiera e punto aderente

Definizione frontiera e Sia 1 EIR Diciamo ad IR che necessariamente aderente 7 punto E è Xo appartenente un non orso B 01 ha BlairrXo ose nea pm rinaBix o.

Chiamiamo chiusura di 1E IR aderente 2 punto E Xoa Xo a l'insieme aderenti dei punti 1a Indichiamo inoltre con ÉInFra la frontiera A di accumulazione.

Definizione di punto di accumulazione

Definizione di punto Sia EIRa Diciamo IRM che ad necessariamente appartenente 2E non Xo fr di 1 punto accumulazione è sose un per B 0n air XoXo.

Chiameremo di derivato aD IR accumulazione di a 2Xo E punto Xo per l'insieme di dei punti accumulazione i per.

Teorema punto di accumulazione

Teorema accumulazione di punto sul Sia E lama Sono le equivalenti seguenti affermazioni accumulazione punto di 1 è I Xo un per l'insieme or contiene a Bixo 1 infiniti punti I Xonso r.

Dimostrazione Ovviamente la III 7 IN Per che t supponiamo dimostrare III assurdo KEr cso per Bix anr Xo a oka Buon in Posto S dlxo.aed somin axoIB 0ainXo ed assurdo è di punto accumulazione è di perché un a ipotesi x per.

Limiti per funzioni di più variabili

Limiti 2 variabili funzioni di più per limite Definizione Diciamo che reale tende valore dei r che tende f ad se x xo a un per VE 7 EX K Jef B 11fix1 nXose soso Xoec x In tal Xfix scriviamo caso leggo fix equivalentemente o.

Teorema di unicità del limite

Teorema limite unicità di del Se 7 è 1 unico 1,81.

Dimostrazione reali che due assurdo a Supponiamo distinti esistano X numeri aper t.c. VEAXE7 EXI1 B181 a Se f nSe ec Xo Xooo SE tic S è 7 Iteso AXEE Bfix nd AIo XoENE E che ha Semin se siso 21 SEla LE AXE B18E d fix Ana Xox di Per l'assurdo ottiene jE si a 2.

Criterio per stabilire la non esistenza del limite

Criterio stabilire la del limite esistenza non per Siamo DD DDa C t.co dandie eEXoI III III Sla da Allora ILIIIEsempio Xyf yx 2 1,2IRA o.oDIAE0,0I lim Six YioixYB CAIX X OO mmfID10,0 Bi axE y x.mx 2 mamacm ilImaCim da dipende Il Ia X ao o mexftp.lxiy yio go.gg cmg Decenteee o.o ftp.adfaggeggi.

Teorema del confronto

Teorema confronto del Sia h Df IR IR2 E7 E aXog8Se 7 f cof SE Eh TX B nx E ax x XoXog allora hlxlxI sx.tte XIII 94.

Dimostrazione HE A Xt E HXLix BESe t.co Se aEo no Xo Xo7 f'e X Eteso te BE HXfix SEE 1o nXo Posto S A d fas'è B ha Sa Semin E sin XoXo ed E ELLA EI EELLA EGLI Xe dunque gufigo.

Esempio

Esempio I cA IR I 0,0D IIRE Oy O OYXY Ox OcIld e 0Da IR t.LYE X ox y o3 X XIlda a 13,0via 11 VIXX xy4,2XY VITlI I yxIE agFey veyaya 0,0x yf IXEO E YgX y II congeniSAN io deltro.

Disuguaglianze utili per applicare il confronto

Disuguaglianze utili il applicare confronto xIYI V XE X Y Y o.o2E 42I IX 710,0Xy Y.

Funzioni continue

Funzioni 3 continue continua Definizione di funzione Sia IRM AA CIRf com d E Diciamo A te natxeblxo.seftre che continua è fixf xinf seE o o c.

Diciamo RmAche continua continua Indicheremo CIAf vota in è è in con punto se ogni Rm l'insieme delle AA in continue f funzioni.

Sottoinsieme limitato

Che 1km limitato di che sottoinsieme è significa cosa un Un CIRMA limitato 1EMHxeA7M t.c.MX dicesi insieme ose.

Sottoinsieme compatto

Che 1km di che sottoinsieme è significa compatto cosa un Un limitato A chiuso è è CIR insieme compatto e.

Sottoinsieme commesso per archi

Che 1km di che è sottoinsieme archi significa commesso cosa un per Elam Diciamo archi che a è commesso insieme se un per 7 f lineare 1km continua te un'applicazione yx 0,1 ca A TE1gli Epitx Xa e 0,1eo RmA SIR archi CLAEfecommesso per f è insieme archi A uniii commesso per intervallo f è Ase mai un.

Siamo I A f Y fEAE Xi YaXafyyA A f0,17Ip Iarchi è iXc 28f o commesso per 2RmIO t A IOCE E IEI 8e8 SIAATi 0,1f 0a 8µ 0,17 f Aµ continue di continua è perché funzioni composizione µ Yfix81810 eaµ o 11a81811i Yaµ 2Ag archi è commesso per.

Teorema di Weierstrass

Teorema Weierstrass di IRAf C AA IREG compatto e f è A compatto.

Teorema di Bolzano Weierstrass

Teorema Bolzano Weierstrass di f archi CE AA compatto commesso e per If fA 1e min mpx.

Derivata direzionale

Derivata Def direzionale Sia IRIR E 12 aperto Ef 2 Xo IR ttoIR EE fissato sia oue ufixflatterSe IRIggy E fixtul aaaachiamo aaaafa naaaaa uaua fine nel punto 2EXoinSe Irm della è base vettore din canonica e un ne 0,1 00o derivata la chiama derivata parziale si Xo te gno81081 00 l'mindica con sie a to o derivata parziale Def Sia 1kmE 2 sir1 f aperto.