Teoremi e dimostrazioni analisi matematica 1

Teoremi e dimostrazioni analisi

1) Limiti di successione

• Teorema di unicità del limite di successione: se {a } è convergente a L, allora il limite esistente è unico.

Dimostrazione: lim = lim = supponiamo che e con L ≠L e L <L1 2 1 2 1 2→+∞ →+∞

[ − ε, + ε] ∩ [ − ε, + ε] ≠ ∅ Fissiamo un ε tale che 1 1 2 2

∃lim = n tale che ∀ n≥n |a -L |<dato un ε, ε1 1 n 1 1→±∞

∃lim = n tale che ∀ n≥n |a -L |<dato un ε, ε2 2 n 1 2→±∞ □

∀n≥max{n ,n } e a ∈I e a ∈I ma è una contraddizione! Quindi 1 2 n 1 n 2

• Teorema della convergenza di una successione: se {a } è convergente, allora è limitata.

Dimostrazione: ∃nlim = fissiamo un ∈ℕ tale che L-1<a <L+1ε=1 quindi 1 n→+∞

Prendiamo il Max=M e il Min=m allora m<a <Mn □

Dunque, essendo per ipotesi {a } convergente allora è limitata.n

Teorema della regolarità: se una funzione converge o diverge allora è regolare.

• Data {a } diremo che è infinitesima se e diremo infinita se
• Lim = 0n →+∞

lim = ±∞→+∞

Data {a } si ha che:

• Nlim = 0 lim | | = 0 →+∞ →+∞

Dim: quindi |an|< □ ∃o ∀ > 0 , n ∀n≥ n ∀ .ε tale che |a -0|< ε ε n≥nε n ε ε

lim = lim − = 0 →+∞ →+∞

Dim: quindi |an-L-0|< □ ∃o ∀ > 0 , n ∀n≥ n ∀ .ε tale che |a -L|< ε ε n≥nε n ε ε

lim | | = lim | | = || →+∞ →+∞

Dim: quindi |an-L-0|< □ ∃o ∀ > 0 , n ∀n≥ n ∀ .ε tale che ||a |-|L||< ε ε n≥nε n ε ε

Teorema algebra dei limiti 1 successioni

• Siano {a } e {b } due successioni n n convergenti rispettivamente ad a e b, allora:
• 1. {a } ±{b } è convergente e n n lim ± = ± →+∞
• 2. {a } *{b } è convergente e n n lim ∗ = ∗ →+∞

Dim: per ipotesi a →a e b →b n n

quindi |a *b -a*b|=| a *b -a*b+a*b -a*b |=n n n n n n

=| a *b -ab +(a*b -a*b)|≤|b (a -a)|+|a(b -b)|n n n n n n n

=|b |*|a -a|+|a|*|b -b|≤M*|a -a|+|a|*|b -b|n n n n n ∃M

Siccome per ipotesi {a } è convergente allora è limitata e quindi tale che n |b |≤M.n

⟹ |a *b -a*b|≤M*|a -a|+|a|*|b -b|< ε n n n n

ε ε ε = ⇒ ∃n ℕ | − | < ∀n ≥ Dato ε=0, 1 ε ε 2 2

ε ε ε = ⇒ ∃n ℕ | − | < ∀n ≥ 2 ε ε 2|| 2||a b

Ponendo n =max{n , n }ε ε ε

ε ε ⟹ | − | < | − | < 2 2|| ε ε

⟹ | ∗ − ∗ | ≤ | − | + || ∗ | − | ≤ + || 2 2||

ε ε □ + = ε ∀n ≥ n ε2 2

3. convergenti, b ≠0, b≠o, quindi n lim = →+∞

Successioni monotone

• Successioni monotone: sia {a } una successione monotona, allora è regolare e di n conseguenza ha limite:

se {a } è monotona crescente allora lim = { }n →∞

se {a } è monotona decrescente allora lim = { }n →∞

Dimostrazione: ∃caso lim = { } = +∞ : fisso M>0 quindi n tale che a >M. Usando M nM →∞ la monotonia avremo che ∀n>n , a ≥a ⟹ lim = +∞ M n nM →∞

∃caso lim = { } = : a <L , ∀ε>0 a tale che L-ε<an nε nε →∞ □

⟹ L-ε≤a ⟹ lim = ≤a ≤L≤L+ε nε n →∞

Teorema della permanenza del segno successioni

• Teorema della permanenza del segno successioni: I forma: se {a } è una successione convergente a L>0, allora esiste n tale che a >n.n n

∃n Dimostrazione: lim = ε = ⟹ tale che |a -L|<L/2ε n 2→∞ □

⟹a >L/2>0.L-L/2≤a ≤L+L/2 nn

∃n II forma: se lim = ed tale che 0≤a allora L≥0.n,→∞

∃n Se lim = lim = e tale che a <b allora a<b e quindi n n →∞ →∞

lim < lim →∞ →∞

Dimostr. (per assurdo): sia a ≤b e supponiamo a>b allora b-a<0 e c b -an n n= n n

lim = lim − = − < 0 ma per il teorema della permanenza del →∞ →∞ segno I forma, se b -a <0 allora b <a Ma per ipotesi abbiamo che a <b n n n n. n n

□ quindi è una contraddizione.

Teorema del confronto successioni

• Teorema del confronto successioni: siano {a }, {b } e {c } successioni tali che n n n
• ∃- n ∈ℕ e a ≤c ≤b0 n n n
• - lim = = lim allora {c } è anch’essa convergente a L n →∞ →∞

Inoltre se

• - A ≤c e il lim = +∞ ⟹ lim = +∞ n n →∞ →∞
• - C ≤b e il lim = −∞ ⟹ lim = −∞ n n →∞ →∞

∃ ∃a b Dimostrazione: fissiamo un ε>0 quindi n tale che L-ε≤a ≤L+ε ed n tale ε n ε che L-ε≤b ≤L+ε . Essendo per ipotesi a ≤C ≤b allora L-ε≤c ≤L+ε. Quindi è n n n n n □ lim = dimostrato che →∞

Teorema dell’algebra di limiti 2 successioni

• Teorema dell’algebra di limiti 2 successioni:
• - Se lim = +∞ e b è inferiormente limitata allora lim + = +∞ n →∞ →∞
• - Se lim = −∞ e b è inferiormente limitata allora lim + = −∞ n →∞ →∞
• - Se lim = ±∞ e lim ≠ 0 allora lim ∗ = ∗ ±∞ →∞ →∞ →∞
• - Se lim | | = +∞ e b ≤M (quindi sup. limitata) allora lim =0 n →∞ →∞
• - Se lim = 0 lim ≠ 0 allora lim = ∗ ±∞ →∞ →∞ →∞

∃M Dimostrazione: a →∞ e {b } è inferiormente limitata. tale che b ≥-M ∀n.n n n

∃n∀K>0 tale che a +b >K ∀n≥n .K n n K

∃n Per ipotesi lim = +∞ ⟺∀L>0 tale che a >L ∀n≥ n .La Lan→∞

b ≥-M quindi a +b ≥a -M>K n n n n □ fissato K allora L=K+M quindi a +b >K.n n

Successione geometrica

Successione geometrica: la successione geometrica di base è a =qn

• N+∞ > 1 inoltre non esiste se q≤-1 1 =1lim = {→+∞ 0 || < 1

Dimostrazione:

Caso q>1 utilizziamo la disuguaglianza di Bernulli (1+x) ≥1+nxn- ⇒ q =[1+(q-1)] ≥1+n(q-1) quindi n n lim = +∞→∞

Caso q=1 - lim 1 = 1→∞ 1

Caso |q|<1 - lim || = lim =01→+∞ →+∞ ||

Caso q≤-1 □ - lim (−1) = ∄→+∞

Criterio del rapporto e della radice

• Criterio del rapporto e della radice: siano {a } una successione con a ≠0 allora: n n +1 oppure lim = lim √ = →+∞ →+∞

Se L>1 allora a →+∞n

Se L<1 allora a →0n

Se L=1 allora non possiamo dire niente

Gerarchia degli infinitesimi: e si possono dimostrare [ln()] < < < ! < utilizzando il criterio del rapporto e della radice (tranne la prima).

2) Limiti di funzione

• Punti di accumulazione: un punto c si dice di accumulazione per A se ogni intorno I di c contiene punti di A diversi da c. f

Definizione successionale di limite: Sia c∈ℝ∪{±∞}, :D⊆ℝ→ℝ e sia c un punto di accumulazione per D, diremo che L∈ℝ∪{±∞} è il limite per x che tende a c di e scriviamo se ∀ successione {x } con e x ≠c ∀n, si ha che lim f(x) = L lim = n n→ →+∞ lim ( ) = →+∞ f

• Definizione topologica di limite: sia c∈ℝ∪{±∞} di accumulazione per D, :D⊆ℝ→ℝ, diremo che se ∀ V intorno di L ∃ U intorno di c tale che f(x)∈Vlim () = L c L→∀x∈D∩U \{c}. Cioè il ⟺∀V ∃ U tale che f(x)∈V ∀x∈D∩U \{c}.lim () = c L c L c→

Caso c,L∈ℝ: ⟺ ∀ε>0 ∃>0 tale che |x-c|<, x≠0 x∈D ⟹ |f(x)-L|<ε- lim () = →

Caso c=+∞ e L∈ℝ: f(x)=L ⟺ ∀ε>0 ∃M>0 tale che x>M ⟹|f(x)-L|<ε-

Caso c=-∞ e L=+∞: f(x)=+∞ ⟺ ∀L>0 ∃M>0 tale che x<-L ⟹f(x)>L.-

Teorema di unicità

• Teorema di unicità: se il limite esiste, allora è unico.

Dimostrazione: per assurdo pongo . usando la definizione lim () = 1 2→ successionale di limite, allora f(x )→L e f(x )→L . Se fisso y =f(x ) che è una n 1 n 2 n n successione, allora avrò una contraddizione perché y non può tendere m contemporaneamente a due valori in quanto il limite di una successione è unico. □ f

Teorema permanenza del segno

• Teorema permanenza del segno: sia :D→ℝ, c∈ℝ∪{±∞} e di accumulazione per D e sia allora: lim () = →

1) Prima forma: se L>0 allora f(x)>0 per x→c cioè ∃ U tale che f(x)>0 ∀x∈D∩U \{c}c c

2) Seconda forma: se f(x)>0 per x→c allora L>0.

Teorema del confronto

• Teorema del confronto: siano f, g, h tre funzioni e c punto di accumulazione per D:

lim () = = lim () allora h(x) è anch’essa convergente a L.→ →

Inoltre se

• - F(x)≤g(x) e il lim () = +∞ ⟹ lim () = +∞→ →
• - G(x)≤h(x) e il lim ℎ() = −∞ ⟹ lim () = −∞→ →∞f f

Funzioni continue

• Funzioni continue: sia :D→ℝ, x punto di accumulazione per D, allora diremo che 0 è continua se lim () = ( ).0→0

Si dice che f è continua da destra o da sinistra se il limite destro o sinistro è uguale a f(x ). Una funzione è continua se lo è sia da dx che da sx.0

Teorema di cambiamento di variabile nei limiti

• Teorema di cambiamento di variabile nei limiti: siano f e g funzioni in cui è definita f◦g per x→x se:0
• 1) lim () = 0→0
• 2) lim () = 0→
• 3) g(x)≠t per x→x oppure t =±∞ oppure f è continua in t0 0 0

Allora ∃ lim (()) = →0

Dimostrazione: fissiamo una successione x →x x ≠x . Per ipotesi 1) n 0 n 0 chiamiamo t =g(x )→t . Se vale la 3.a) (g(x)≠t per x→x ) allora t =g(x )→t n n 0 0 0 n n 0 t ≠t ⟹ f(t )→L e f(g(x ))→L.n 0 n n

Se invece vale la 3.b) (t =±∞) allora t =g(x )→±∞ t ≠±∞ ⟹ f(t )→L e 0 n n n n f(g(x ))→L.n

Se f è continua ∀t →t all