Teoremi di Analisi 1

Somma della progressione geometrica

a_k = 9^-k - progressione geometrica

∑ k = 0 m q k = { m + 1 q = 1 1 − q m + 1 1 − q q ≠ 1

Dimostrazione:

per q = 1 : ∑ k 0 q^k = 1 + 1 + 2 j + 3 j + … + t m – … = m + 1

per q ≠ 1 : ∑ k = 0 m q k = 1 + q + q² + ... + q^m-1 + q^m

∑ k = 0 m q k − q m+1 ) = 1 1 - q m+1 q^m

Teorema (unicita' del limite)

Ipotesi: Assumiamo che {a_n} sia una successione convergente

Tesi: allora il suo limite e unico

Dimostrazione per assurdo: Supponiamo che a_n → l₁, a_n → l₂ con l₁ ≠ l₂

∀ > 0 ∃ m₁() ∈ N t.c. ∣ a_n - l₁ ∣ < ∀ m ≥ m₁ ∀ > 0 ∃ m₂() ∈ N t.c. ∣ a_n - l₂ ∣ < ∀ m ≥ m₂

Scelgo = l 1 - 2 3 > 0 , definisco m₀() = max(m₁(), m₂())

quindi 0 < ∣ l₁ - l₂ ∣

≤ ∣ a_m0 - l₁ ∣ + ∣ a_m0 - l₂ ∣ ≤ 2 =