Tavola 4 Laboratorio di meccanica applicata alle macchine

ESERCITAZIONE 4 ALESSANDRO CARELLA 7077125

In questa quarta esercitazione viene richiesto di determinazione tramite il metodo di Taglia Tragedia, il valore dei coefficienti da applicare nei calcoli relativi a i tempi con i cilindri, in base ad un determinato albero obiettivo un grado di irregolarita' "i" pari all' 2% (i = 0,02)

Procediamo al calcolo dell' ipotesi che l' incremento risultante sia costante

Dati

Diametro cilindro -> D = 60 mm

Corsa pistone -> 2r = 74,5 mm

Lunghezza biella -> l = 155 mm

Peso massa alterne -> m_A = 320 gf (singolo pistone)

Peso biella -> m_B = 450 gf (singola biella)

Inerzia masse alterne -> I_r = 0,092 Kg P. cm. s²

(interno albero a gomiti.)

Numero di giri del motore -> N = 4800 rpm

Sovrappressione (bar) del gas nel cilindro nelle 4 fasi del motore rispetto all'angolo di manovella (θ)

ASpirazione, Compressione, Espansione, Scarico

0 -0,28 -0,28 44,90 0,63

15 -0,28 -0,27 38,00 0,61

30 -0,28 -0,23 25,90 0,58

45 -0,28 -0,17 16,60 0,52

60 -0,28 -0,07 10,90 0,44

75 -0,28 0,10 7,50 0,35

90 -0,28 0,34 5,50 0,22

105 -0,28 0,76 4,30 0,10

120 -0,28 1,45 3,50 -0,02

135 -0,28 2,62 3,00 -0,12

150 -0,28 4,54 2,70 -0,21

165 -0,28 7,04 2,50 -0,26

180 -0,28 8,47 2,50 -0,28

Prima di partire con l'analisi e i calcoli vari e proposti del problema, viene impostato il sistema di riferimento visivo per i vari calcoli, ovvero l'asse delle incognite

Cinematica manovellismo di spinta

Definiamo λ = r/l

La posizione x del pistone in funzione dell'angolo di manovella θ è:

x = r cos θ - l cos β

Con dei passaggi trigonometrici dimostriamo che:

cos β = ± √1 - λ²sin²θ

Prendiamo la soluzione con il "−" essendo π/2 ≤ β ≤ 3π/2

Di conseguenza risulta:

x = r (cosθ + 1/λ √1 - λ²sin²θ)

Essendo solitamente la lunghezza della manovella molto più piccola di quella della biella, risulta:

λ²sin²θ << 1

In forma approssimata la velocità del pistone risulta:

ẋ = -r θ̇ (sin θ + λ/2 sin(2θ))

Considerando una velocità angolare θ̇ = ω costante, l'accelerazione risulta:

ẋ̇ = -r θ̇² (cosθ + λ cos(2θ))

Derivando la lunghezza del segmento r rispetto al tempo

β̇ cosβ = λ θ̇ cosθ = β̇ = -λ θ̇ cosθ/√1 - λ²sin²θ

Per poter sfruttare l'equazione dell'energia cinetica e conviene usare delle masse di sostituire per facilitare il procedimento di risoluzione

Masse di sostituzione ed energia cinetica

A partire di energia cinetica la biella può essere sostituita con 2 masse di sostituzione poste nei punti M e P (biella e met?) e da un momento fittizio J₀

In questo modo l'energia cinetica risulta:

E_c = 1/2 (m_M n²) &thetadot;² + 1/2 (m_P) xdot² + 1/2 J₀ βdot²

Di solito il contributo di 1/2 J₀ βdot² puo' essere trascurato essendo J₀ e β molto piccoli.

Inoltre possiamo considerare m_M ~= 1/3 m_biella m_P ~= 2/3 m_biella

Con queste approssimazioni risulta quindi:

E_c = 1/2 (J_rot + m_M n²) &thetadot;² + 1/2 (m_pos + m_P) xdot²

A questo punto sostituendo la formula della velocita del pistone e con dei passaggi matematici arriviamo a

E_c = 1/2 J(θ) &thetadot;²

con J(θ) = J_ROT + J_ALT(θ)

Possiamo quindi suddividere l'energia in 2 contributi:

E_c = E_c^ROT + E_c^ALT

E_c^ROT = 1/2 J_ROT &thetadot;² - "rotative": legata al moto della manovella

E_c^ALT = 1/2 J_ALT(θ) &thetadot;² - "alterno": legato al moto del pistone

Equazioni di Lagrange

La funzione lagrangiana e : L = E_c - E_p

Avendo scelto come unico grado di liberta l'angolo di manovella θ, l'equazione di Lagrange e' la seguente:

d/dt (partial L/partial &thetadot;) - (partial L/partial θ) = M_m - M_r

con M_m e M_r i momenti motori e resistenti (coppia ridotta all'angolo θ)