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Iannibelli Marco 232691 Stability of structures - Problem S1

Geometria del problema

tf = 20 mm; tw = 20 mm; h = 200 mm; B = 400 mm

Materiali

E = 2.105 MPa, G = 8.104 MPa

Proprietà della sezione

A1 = tw.H = 4.103 mm2 ; A2 = tf (B-tw) = 7.6.103 mm2

ATOT = A1 + 2A2 = 1,92.104 mm2

Baricentro

XG = A2 tw⁄2 + 2A2 (B+tw)⁄2 = 168,33 mm ; YG = H⁄2 = 100 mm

Momenti di inerzia nel riferimento centrale principale

Ix = twH3⁄12 + 2 [ (B-tw)tf⁄12 + A2 (ya-tf⁄2)2 ] = 1,31.108 mm4

Iy = tw3H⁄12 + A1 (Xa - tw⁄2)2 + 2 [ (B-tw)tf⁄12 + A2 (B+tw⁄2 - Xa)2 ] = 3.097.108 mm4

Ixy = 0 ; IA = Ix + Iy = 4.467.108 mm4

Calcolo del centro di taglio

Calcolo funzione di ingobbamento rispetto G

β1 = h⁄2 = 100 mm ; γtA1(S1) = - β1 S1

β2 = Xa - tw⁄2 = 158,33 mm ; γtA2(S2) = γtA4 (B-tw⁄2) - β2 S2

β3 = h⁄2 = 100 mm ; γtA3(S3) = γtA2(h-tp) - β3 S3

Si trascura Φ poiché ininfluente

Iannibelli Marco 232691 Stability of structures Problem S1

Geometria del problema

tf = 20mm; tw = 20mm; h = 200mm; B = 400mm

Materiali

E = 2.105 MPa, G = 8.104 MPa

Proprietà della sezione

A1 = tw.H = 4.103 mm2 ; A2 = tf(B-tw) = 7.6.103 mm2

ATOT = A1 + 2A2 = 1,92.104 mm2

Baricentro

Xa = A2 tw/ATOT + 2A2 [(B+tw)/2] = 168,33mm

Ya = H/2 = 100mm

Momenti di inerzia nel riferimento centrale principale

Ix = twH3/12 + [(B-tw)tf3/12 + A2 (ya - tf/2)2] = 1,31.108 mm4

Iy = tw3H/12 + A1 (Xa - tw/2)2 + 2 [(B-tw)tf/12 + A2 (B+tw/2 - Xa)2] = 3,097.108 mm4

Ixy = 0 ; IA = IX + Iy = 4,467.108 mm4

Calcolo del centro di taglio

Calcolo funzione di ingobbamento rispetto G

β1 = h/2 : 100mm ; γA1(S1)= - β1 S1

β2 = Xa - tw/2 : 158,33 mm ; γA2(S2) = γA2 (B - tw/2 )- β2S2

β3 = h/2 : 100 mm ; γA3(S3) = γA2 (h - tf) - β3S3

Si trascura δ0 poiché ininfluente

Coordinate centro di taglio

yS1 = H - tf⁄2

yS2 = H - tg⁄2 - S2

yS3 = - H - tf⁄2

XC = - 1⁄Ix {tg (∫0β - tw⁄2 yg1 γg1(S1)ds1) + tw ∫0H - tg yS2 γc2(S2)ds2 + tf ∫0β - tw⁄2 yg3 γg3(S3)ds3 } :: -336,36 mm

yC = 0

Funzione di ingobbamento rispetto al centro di taglio

γc1(S1) = γg1(S1) + XCy(S1) ; γc2(S2) = γg2(S2) + XCy(S2) ; γc3(S3) = γg3(S3) + XCy(S3)

Hs = H - tf ; Bs = B - tw⁄2

Condizione di normalizzazione

K = - 1⁄Ator [tw ∫0Hs γc2(S2)ds2 + tg (∫0βs γc1(S1)ds1 + ∫0βs γc2(S3)ds3) ] = 5,32 ⋅ 104 mm2

γca(Sa) = γa1(S1) + K ; γc2(S2) = γc2(S2) + K ; γc3(S2) = γc3(S3) + K

Calcolo rigidezza di ingobbamento e torsionale

Γt = tw ∫0Hs γc2(S2)ds2 + tf ∫0βs γca(S1)ds1 + ∫0βs γc3(S3)ds3 = 2,402 ⋅ 1012 mm6

Jt = 1⁄3 [tw3(H-tg) + 2tf (β - tw⁄2) ] = 2,56 ⋅ 106 mm4

Momento di inerzia polare rispetto C

Ic = Iα + AtorXC2 = 2,897 ⋅ 109 mm4

Ricerca del carico critico

Px(Ltx) = π2 E⁄Ly2 ; Py(Lty) = π2 E⁄Lx2 ; Po(Lto) = Ator⁄Ic (G ⋅ Jt + π2E[Lt]⁄Lx2)

Fattore di interazione

K = Ic⁄Ig = 6,485

(Px - P) [ Ic⁄Ator (Py - P)(Po - P) - P2Xc2 ] = 0

P1 (Lt) = PX (LT)

P2 (lt) = K/2 [ (Py(Lt) + Pθ(Lt)) - ((Py(lt) + Pθ(Lt))2 - 4/K Py(Lt) Pθ(Lt))1/2 ]

P3 (Lt) = K/2 [ (Py(Lt) + Pθ(Lt)) + ((Py(lt) + Pθ(Lt))2 - 4/K Py(Lt) Pθ(Lt))1/2 ]

Pcrit (Lt) = min ( P1 (Lt), P2 (Lt), P3 (Lt) )

σCRIT (Lt) = PCRIT (Lt)/ATOT ; σ0 = 320 Mpa

Problem S2

[Immagine di un problema ingegneristico]

Utilizzo il metodo degli elementi finiti

[Immagine di un diagramma meccanico]

NA = [1 0 2 3] ; N2 = [2 3 0 0]

Il singolo EF è :

[Immagine di un diagramma meccanico]

Con le seguenti funzioni di forma

N1(x) = 1 - 3( x/l )2 + 2( x/l )3

N2(x) = l [( x/l ) - 2( x/l )2 + ( x/l )3]

N3(x) = 3( x/l )2 - 2( x/l )3

N4(x) = l [ - ( x/l )2 + ( x/l )3]

Scrivo l'equazione dell'EPTV

V2,e(u) = 1/2 [∫0lEJ(x)u*''x(u)dx - ∫0lNu''T(x)dx] == 1/2 [∫0lEJ(x)[N''(x)u]dx - ∫0lN[N''(x)u]2dx] = 1/2uT(KE + NK)u

Kt* = EJ/l3

  1. [12 6L -12 6L]
  2. [4L2 -6L 2L]
  3. [symm 12 -6]
  4. [4L2]

Kg* = 1/30L

  1. [36 3L -36 3L]
  2. [4L2 -3L L2]
  3. [symm 36 -3L]
  4. [4L2]

u1u2u3u4

EF11023

EF22300

Ke= =

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I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher marcoianni00 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Stability of structures e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano o del prof Capsoni Antonio.
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