Successioni, sottosuccessioni e serie

Osservazioni sulle successioni

Definizione: Una successione (a valori in R) è una funzione a valori reali il cui dominio è tutto N o almeno un suo sottoinsieme infinito. Usualmente la indicheremo con una notazione specifica al posto di f(n).

Grafico ed esempi

Le tre successioni dell’esercizio 4 coincidono tutte con la successione fondamentale: il dominio di una successione è N o almeno un suo insieme infinito. In ogni caso, il dominio di una successione ha sempre un unico punto di accumulazione. Di conseguenza, si può parlare di proprietà verificata definita da una successione solo per determinati casi. Per comodità, diremo "proprietà verificata definitivamente".

Definizione di limite per una successione

Diremo che la successione tende a un valore R* (per n tendente a infinito) e scriveremo in modo appropriato per indicare questa tendenza. Inoltre, diremo:

• Infinitesima
• Infinita
• Convergente
• Divergente

Osservazioni sulle successioni

1) La variabile n in una successione è esattamente come la variabile x in una funzione f(x): è muta. In altre parole, hanno lo stesso comportamento per valori fissati.

2) Se due successioni ammettono limite, i limiti coincidono.

Definizione di limitatezza

Una successione è detta limitata quando per ogni n nel dominio il suo valore non supera determinati limiti. Una successione convergente è anche limitata.

Dimostrazione di limitatezza

Sappiamo che una successione definita limitata rispetta certe condizioni. Per il teorema "limite finito e limitatezza definitiva" otteniamo che la successione è definitivamente limitata.

Osservazione sul viceversa del teorema

Il viceversa del teorema di limitatezza non è sempre vero.

Teorema sulle proprietà delle successioni

• Unicità del limite
• Relazione tra limite e modulo
• Permanenza del segno
• Confronto
• Carabinieri caso limitato
• Carabinieri caso illimitato
• Limiti delle successioni monotone
• Algebra dei limiti

Teorema sulla gerarchia degli infiniti per le successioni

Da ricordare: per le successioni valgono importanti proprietà relative alla gerarchia degli infiniti.

Teorema sulla formula di Stirling

Esercizio relativo al teorema di Stirling.

Teorema sui limiti delle successioni

La successione è:

• Monotona crescente
• Limitata superiormente
• Per il teorema sul limite della successione monotona, il limite è finito
• Il valore di questo limite coincide con il determinato limite

Esempio e osservazione

Dall’esempio otteniamo che una data successione è un infinito di ordine superiore a tutti gli infiniti visti nella gerarchia.

Sottosuccessioni

Definizione: Data una successione, si dice sottosuccessione di una successione (o successione estratta) ogni successione della forma indicata con una determinata notazione, dove la sottosuccessione è strettamente crescente.

Esempio e proposizione

Sia una successione. Allora vale una certa proposizione.

Teorema di Bolzano-Weierstrass

Sia una successione limitata. Allora esiste una sua sottosuccessione convergente.

Teorema-ponte

Sia f: X → R una funzione. Sia x un punto di accumulazione di X. Allora:

Il teorema assicura certe proprietà grafiche e teoriche.

Applicazioni delle successioni

Useremo questo teorema per mostrare le serie numeriche e le denotiamo con una notazione specifica, chiamandola somma parziale (o ridotta).

Definizione di serie numeriche

Dati infiniti addendi in una successione, la somma parziale rappresenta una importante definizione matematica.