Studio di funzione

Studio di funzione

1 | Dominio

Prestare attenzione a:

1. Denominatori => li pongo >0
2. Radici con indici pari => pongo i loro argomenti >=0
3. Logaritmi => pongo i loro argomenti >0
4. [f(x)]g(x) => pongo f(x)>0

Casi speciali

• y= log_g(x)[f(x)] => D: f(x)>0g(x)>0g(x)≠1
• y= tan [f(x)] => D: f(x)≠ π/2 + kπ
• y= cot [f(x)] => D: f(x)≠ kπ
• y= arcsin [f(x)] => D: -1 <= f(x) <= 1
• y= arccos [f(x)] => D: -1 <= f(x) <= 1

2 | Simmetrie e periodicita

• f(x) pari:

  • ∀x ∈ D f(-x)= f(x)
  • il grafico è simmetrico rispetto all'asse delle y

• f(x) dispari:

  • ∀x ∈ D f(-x)= -f(x)
  • il grafico è simmetrico rispetto all'origine (l'asse di simmetria è una diagonale passante per il I e III quadrante)

Studio di funzione

1 | Dominio

Prestare attenzione a:

1. Denominatori => li pongo >0
2. Radici con indici pari => pongo i loro argomenti >0
3. Logaritmi => pongo i loro argomenti >0
4. [f(x)]g(x) => pongo f(x)>0

Casi speciali

• y= log_g(x)[f(x)] => D: f(x)>0g(x)>0g(x)≠1
• y= tan [f(x)] => D: f(x)≠ + kπ
• y= cot [f(x)] => D: f(x)≠ kπ
• y= arcsin [f(x)] => D: -1 ≤ f(x) ≤ 1
• y= arccos [f(x)] => D: -1 ≤ f(x) ≤ 1

2 | Simmetrie e periodicità

• f(x) pari:

  • ∀x ∈ D f(-x)= f(x)
  • il grafico è simmetrico rispetto all'asse delle y

• f(x) dispari:

  • ∀x ∈ D f(-x)= -f(x)
  • il grafico è simmetrico rispetto all'origine (l'asse di simmetria è una diagonale passante per il I e III quadrante)

• f(x) nè pari nè dispari (non ci sono le simmetrie precedenti ma possono essercene rispetto ad altri assi)

• f(x) periodiche:

  • ^Vx _e D f(x+t) = f(x) con t > 0 e R

  • y = sin (x) e y = cos (x) hanno T = 2π

  • y = tan (x) e cot (x) hanno T = π

  • il grafico si ripete ogni periodo

3| Intersezione con gli assi

• Asse x {

  y = f(x)y = 0

• Asse y {

  y = f(x)x = 0

4| Segno della f(x)

Pongo f(x) > 0 e compilo la tabella dei segni

5 | Limiti agli estremi del dominio

• Se gli estremi sono inclusi:

asintoto verticale x = x₀

dove si cerca:

• nei punti x₀ di discontinuita della funzione
• nei punti agli estremi del dominio di f(x) se sono finiti e non appartenenti al dominio stesso

come si cerca:

lim f(x) = { n finito -> l'asintoto Non Esiste+/-infinito -> Esiste -> x = x₀

osserva: la funzione non attraversa mai l'asintoto verticale perche x₀ non appartiene al dominio della funzione

• Se gli estremi sono esclusi:

asintoto orizzontale y = n

dove si cerca:

• a +infinito se il dominio lo consente

come si cerca:

lim f(x) = { +/-infinito -> l'asintoto Non Esisten finito -> Esiste -> y = n

• solo se l'asintoto orizzontale non esiste, si cerca l'asintoto obliquo

fai attenzione che per +infinito e per -infinito vanno fatte ricerche separate, ad esempio a +infinito potrebbe esistere l'asintoto orizzontale ed a -infinito potrebbe esistere l'asintoto obliquo

asintoto obliquo y = mx + q

dove si cerca:

• a +infinito se il dominio lo consente e se non esiste gia l'asintoto orizzontale

come si cerca:

m = lim f(x) . 1/x = { +/-infinito -> l'asintoto Non Esiste0 -> l'asintoto Non Esistem finito -> si cerca q

q = lim[f(x) - mx] = { +/-infinito -> l'asintoto Non Esisteq finito -> Esiste -> y = mx + q

punto di discontinuità di prima specie

• x₀ si dice punto di discontinuità di prima specie se i limiti sinistro e destro della funzione in x₀ sono diversi e finiti cioè:

l₁ != l₂ con l₁ ed l₂ finiti

|l₂-l₁| si dice salto della funzione

punto di discontinuità di seconda specie

• x₀ si dice punto di discontinuità di seconda specie se uno almeno dei due limiti sinistro o destro della funzione in x₀ è uguale a infinito, oppure non esiste cioè:

l₁ = ± ∞ oppure l₂ = ± ∞

punto di discontinuità di terza specie o eliminabile

• x₀ si dice punto di discontinuità di terza specie o eliminabile se i limiti sinistro e destro della funzione in x₀ sono uguali e finiti ma non esiste il valore della funzione in x₀ oppure esiste ma risulta diverso dal limite cioè:

l₁ = l₂ != f(x₀) con l₁ ed l₂ finiti

in questo caso la discontinuità si può eliminare ponendo f(x₀) = l₁

6 | Studio della derivata prima

1. Derivo f(x)
2. Trovo il domino di f'(x)
3. Pongo f'(x) > 0 per trovare dove f(x) > 0 (crescente) e dove f(x) < 0 (decrescente) [TABELLA DEI SEGNI]
4. Cerco i punti di massimo o minimo relativo, flesso a tangente orizzontale e punti di non derivabilità (flessi verticali, cuspidi e punti angolosi).

massimo relativo

minimo relativo

flesso orizzontale discendente

flesso orizzontale ascendente

punto di flesso a tangente verticale

un punto x₀ si dice punto di flesso a tangente verticale per una funzione se i limiti della derivata prima da sinistra e da destra sono entrambi uguali a +∞ oppure a -∞

lim_x->x0- f'(x) = +∞       lim_x->x0+ f'(x) = +∞

oppure

lim_x->x0- f'(x) = -∞       lim_x->x0+ f'(x) = -&infty;

nel primo caso il punto di flesso si dice a tangente verticale crescente,nel secondo caso si dice a tangente verticale decrescente

punto angoloso

un punto x₀ si dice punto angoloso per una funzione se i limiti della derivata prima da sinistra e da destra sono diversi ed almeno uno dei due e finito

lim_x->x0- f'(x) ≠ lim_x->x0+ f'(x)

con almeno uno dei due limiti finito

punto cuspidale

un punto x₀ si dice punto cuspidale per una funzione se i limiti della derivata prima da sinistra e da destra sono uguali uno a +∞ e l'altro a -∞ o viceversa

lim_x->x0- f'(x) = -∞       lim_x->x0+ f'(x) = +∞

oppure

lim_x->x0- f'(x) = +∞       lim_x->x0+ f'(x) = -&infty;

nel primo caso si dice che il punto e una cuspide con vertice in basso,nel secondo caso si dice che il punto e una cuspide con vertice in alto

7 | Studio della derivata seconda

1. Derivo f'(x)
2. Trovo il dominio di f''(x)
3. Pongo f''(x)> 0 per trovare dove f(x) > 0 (concavita verso l'alto) e dove f(x)< 0 (concavita verso il basso) [TABELLA DEI SEGNI]
4. Cerco i punti di flesso a tangente non orizzontale (flesso ascendente o flesso discendente).

N.B. Se:

• f'(x) = 0 ⇒ flesso orizzontale
• f'(x) ≠ 0 ⇒ flesso obliquo