Sterzatura cinematica

1. STORIA CINEMATICA

Stereatura cinematica -> minimo contatti e stress per cui pettinatrici

Consideriamo onde prive sottile in condizioni di puro rotolamento, senza attriti.

A velocita bassa e in manovra tornano questi comportamenti.

Vincoli di mobilita nel contatto ruota e suolo

Classificazione dei vincoli:

• vincoli olonomici -> vincolano solo le posizioni, non la velocita; impliciti in forma finita, differenziabile esatta
• an olonomici -> non e il, differenziale non esatta
• scleronomici -> vincoli con espressioni indip. dal tempo
• reononmi -> variab. nel tempo

psi(..., pi, ..., pi, ..., t) >= 0

=0 bilaterale

>0 unilaterale

Se ci sono solo le posizioni -> e otonomo

Se c'e il tempo espliciti -> e reonomo

Ruota rig. che muota su un piano senza strisciare e un vincolo anolonomo

e un puro rotolamento impone una relazione tra la velocita della ruota e il pto di contatto del suolo

poiche non avviene il distacco della ruota dal suolo possiamo trattarlo come bilaterale.

Puro rotolamento di una ruota in un piano

dx = R dphi

non c'e strisciamento relativo, si c'e puro rotolamento

integrando

∫ dx = ∫ R dphi

x = R phi

il vincolo e all'infinitesimo

e' un vincolo olonomo

il sistema avra 1 solo c.o.l.

Anche lato i gradi per identificare le configurazioni del sistema -> lo spazio delle configurazioni ha dimensione 1.

Ruota rigida che ruota su un piano

Hp: - piano auto osservabile il piano stradale

- puro rotolamento

vista dall'alto

capacitam? ancora di scivolo

vista catturao

Parametri utili:

(x_p, y_p, α, φ) -> 4 gradi la dimens. dello spazio delle configurazioni

C = 4

dp = { dxp = R dφ cos α dxp nell'asse x

dyp = R dφ sin α

SPOSTAM. A TERRA INFINITESIMO

Ho 2 g.o. di vincolo e non serve 1 grado di libertà, ma 2 (notiamo che se fisso l'α cos, dxp e dyp dipendono da me = non potrei scegliere liberamente)

non è una forma diff. adatta per cercare il vincolo al finito -> ANALOGOIRTO

(perché i vincoli al finito non 3)

ESEMPIO x capire che N. di gradi di libertà e di vincoli = di configurat.

{ dxp = R dφ

dyp = 0

cerco di violare il secondo vincolo passando dalla posizione 1 alla posizione 2

(A)

(B)

(C)

Per evitare la sequenza A, B, C ci sono 2 possibilita:

dq_p/2 = (J_p alpha) dx_p, dq_p/2 = (Jx_p) dx_p

NON E una manovra infinitesima che permette di violare il vincolo

Dim. per assurdo

f(x, y_p, alpha, phi) = 0

df/dx_p + df/dy_p + df/dalpha + df/dphi = 0

=> (df/dx_p)(r cos alpha) + (df/dy_p)(r sin alpha) + (df/dphi) dq + df/dalpha = 0

=> f non puo appartenere ne da x_p, ne da y_p, ne da phi

RUOTA APPOGGIATA CON PIANO MEDIO INCLINATO RISPETTO AL SUOLO (CAMBER)

VISTA FRONTALE

la molla risente di un angolo beta

variabili infinitesime

C = S

Xp, Yp, alpha, phi, beta

il finito

all'infinitesimo => ha sempre le stesse equanti. elementi

piu-dipendenti

ma S variazioni infiniti sono 3 gradi indipendenti (dphi, db, dalfa)

Avro 3 G.D.L.

dP = { dXp = R dphi cos alpha

dYp = R dphi sin alpha

E i vincoli anolonomi che al finito spariscono

Facciamo esempi applicativi a meccanismi che rappresentano veicoli:

Introduciamo delle coppie cinematiche

la coppia cinematica collega

2 corpi rigidi

un corpo rigido

ha 6 c.d.l. nello spazio,

in un piano ne ha 3

ce l'abbiamo nel piano

coppia rotoidale → nel piano toglie 2 c.d.l. su 3

coppia prismatica → nel piano toglie 2 c.d.l. su 3

coppia rotoidale → nello spazio 3d toglie 5 c.d.l. su 6

coppia prismatica → toglie 5 c.d.l. su 6

coppia cilindrica → toglie 4 c.d.l. su 6

coppia sferica → toglie 3 c.d.l. su 6

Nel caso della ruota sul piano inclinato posso associare un vincolo olonomo con una coppia spezzata nel pto P. Lascio indipendenti d_a, d_q, d_p. (all'infinitesimo)

VEDIAMO GLI ESEMPI:

Calcolo dei G.D.L.

3 coppie rotoidali

2 coppie stellate

Uso Gruebler -> l = 6 - 4 - 5 - 3 - 2 = 3

C = 5 + 1 + 1 = 7

con la teoria:

Le 4 vincoli angolari e 3 GdL => C = 7

riferimento a 2 ruote

puntone

ruota

telaio

ruota

coppie rotanti ruote

coppie speciali ruote

coppie concentrate

non è corretto

devo tenere conto della rotazione di un corpo

l - i = 1

per le ruote basta 1 vincolo del 1 moto di posizione laterale, visto che le 2 ruote sono collegate

l - 1 = 1 -> l = 2

col vincoli anovonoti essenziali che svaniscono all'infinito

C = 2 + 3 = 5

triciclo

sistema di sterzo

ruota

telaio

ruota

1 sistema di sterzo

2 sistema di sterzo

l - 1 = 6:5 - 5:4 - 3:3 = 1

3 ruote e 1 x sterzo

coppie rotanti

coppie speciali

ripartizione di vincolo

Condizione di sterzatura cinematica di un veicolo

Consideriamo un veicolo a 4 ruote con 2 ruote sterzanti.

Per mantenere il puro rotolamento ci deve essere una relazione fra gli assi sterzanti delle ruote anteriori.

l = 2

C = 2 + S = 7

Poichė un asse di sterzo ortogonale al piano del veicolo.

Il centro cui tutte le ruote ruotano attorno: (centro di istantanea rotazione)

S1 > S2, le ruote non sterzano allo stesso modo.

Possiamo un asse di sterzo ortogonale al piano del veicolo.

cerchiamo una relazione che li collega

tg d1 = l / (R - a/2)      tg d2 = l / (R + a/2)

piu l cresce piu cala la diff. tra i due.

cotg d1 = (R - a/2) / l      cotg d2 = (R + a/2) / l

cotg d2 - cotg d1 = a / l

cond. di sterzatura cinematica (Ackermann)

presenza dei pneumatici dell' usura

p = 100 (di - de) / (dicin - de) (%)

angolo di sterzo di un'auto in curva e' il valore che mi serve x avere la sterzatura cinematica

se e' rispettata la condiz. di Ackermann, di = dicin

veicolo con 4 ruote sterzanti

CDL DI VEICOLI A 4 RUOTE

l - i = 6.5 - 5.4 - 3.4 = -2

C = 1 + 6 = 7

l = 1

ORA AGGIUNGIAMO UN SISTEMA DI STERZO

l - i = 6.8 - 5.6 - 3.4 - 3.2 = 0

lR CUI STOESI VINCOLI RIPETUTI DI PRIMA -> l = 3

C = 3 + 6 = 9

Ho 3 punti per posizionare il pianaleangolo pontaloni pianaleangolo di rot. asta4 angoli rot. delle mani

Meccanismi di Sterzo

C

Meccanismo di Bournet

per sterzare faccio traslare l'asta

ASOLA AD ASSE RETILINEO

COPPIA PRISMATICA

COPPIA ROTORIALE

QUESTO SISTEMA NON SI USA PERCHE CI SONO CUSCINETTI CHE SCORRANO ECC...

ANALISI NEL PIANO DEL SISTEMA STERZANTE

l = 3 - 3 - 2 - 2 - 1 - 1 = 1

RENE? M? O

ROTORALI

PRISMATICA

Schema per ruota a sinistra =

ANGOLO QUANDO LA RUOTA NON E STERZATA

centino

ANGOLO DI STERZATURA

AVANZO DI x CON DA STERZARE LA RUOTA

Schema per ruota a destra =

STERZANDO IL CENTRO DI ROTAZ. DELL ASOLA SI SPOSTA, IL PTO B1 A SX E B2 A DX

tg (so - s1) = A1B1/A1C1 - B1C1 = ctg so - x

tg(so+sd2) = (cg so + x)/c

tg(so-s1) + tg(so+sd1) = 2 tg so

meglio vedermi x portato meccanicamente nella ACKERMANN

t0 = tg sd0, t1 = tg sd1, t2 = tg sd2

uso le formule trigonometriche di espansione

(t0 - t1)/(1 + t0t1) + (t0 + t1)/(1 - t0t1) = 2 t0 -> -t1 + t1 + 2 t0(t1)t0 = 0

- 1/t1 + 1/t2 - 2t0 = 0 => 1/t2 - 1/t1 = 2tg

cog d2 - cg s1 = 2tg d0

tg d0 = a/2L

per rispettare la condizione di Ackermann

STERATURA CINEMATICA DEI RITORCHI

PROIEZIONE DI P SULL'ASSE DELLE RUOTE

ESEMATITA DI AGGANZIO DEL TIMONE

TRAIETTORIA PREFISSATA

E' UN PIANO

VALUTANDO CON GRADO LA TRAIETTORIA DEL RITORCHIO

DEVO IM BASE A P TRAMITE Q, sapendo che "a" e FISSO fatta conoscere langolo alpha

CONSEGUENTE AL CENTRO DI ISTANTANEA ROTAZIONE

SIAMO IN COND. DI PURO ROTOLAMENTO

(P - Q) = a

VETTORE

dP - dQ = a

=> dQ = dP + a {sin alpha, -cos alpha} d alpha

HO ESPRESSO 2 VETTORI CHE DEVONO ESSERE PARALLELI

dQ n (P - Q) = 0

PROD. VETTORIALE

SOLUZIONI ALTERNATIVE

PANHARD

JEANSTAUD

^n ^j ^k

dq_x dq_y 0 = 0

(p-a)_x (p-a)_y 0

Devo trovare il det.

Posso semplificare ad una 2-lz

dq_x dq_y = 0

(p-a)_x (p-a)_y

Sostituisco i termini, calcolo il det e ottengo

(d(p_x + a sin a da) esin a - (d(p_y - a cos a da) e cos a = 0

sin² + cos² = 1

=> d(p_x sin a + a sin² a da) - d(p_y cos a + a cos² a da) = 0

=> d(p_x (sin a) - d(p_y (cos a) + a da = 0

x esempio x una coordinata s nella traiettoria di p

(d(p_x) / ds) sin a - (d(p_y) / ds) cos a + a da/ds = 0

ora bisognerebbe integrare ecc...

ESEMPIO

vediamo il caso del rimbalzino traiand in rettilineo

TRAINATO lungo x

d p_x = dx

d p_y = 0

(sin alpha) dx + a d alpha = 0

se alpha0 rimane piccolo x quasi una menoma, scrivo sin alpha = alpha

alpha dx + a d alpha = 0

∫ d alpha / alpha = - ∫ dx / a

[ln alpha]_alpha0^alpha = - 1/a [x]₀^x

ln (alpha / alpha0) = -x/a => alpha = alpha0 e^-x/a

x che il momento alpha grande non vale approssimazione

IN METRO POLARIA INVECE

- 1/a dx = d alpha / sin alpha => - dx / a = d alpha / (2 sin alpha/2 cos alpha/2)

∫_alpha0^alpha 1/sin(x/2) 1/cos²(x/2) d alpha = - ∫₀^x dx / a

d(lm (y_x))

=> lm [y_x(x) / y_x(x₀)] = - x / a => y_g a / 2 = y_g(a₀ / 2) e^-x/a

x x -> -infty

a/2 -> pi/2 => a -> pi