Statistica (seconda parte)

Campionamento e distribuzione campionaria

La popolazione è l’insieme di tutte le unità statistiche classificate secondo uno o più caratteri. Ciò che fa di un insieme di elementi, persone o oggetti, una popolazione è proprio l’esistenza di un carattere presente in tutte le unità e che può divenire oggetto di analisi.

La popolazione si distingue in popolazione finita, per natura sono finite, e infinita, quando abbiamo popolazioni molto grandi.

Il campione è un qualunque sottoinsieme della popolazione contenente un certo numero di unità statistiche.

Un campione utile all’analisi statistica deve essere rappresentativo della popolazione. Cioè deve “riprodurre” in piccolo le caratteristiche della popolazione. In altri termini deve assomigliare il più possibile alla popolazione.

Una procedura che consente di ottenere un campione rappresentativo è quella di legare l’estrazione delle unità statistiche ad un meccanismo casuale, campione casuale o probabilistico. Affidandosi al caso si ottiene la garanzia che il campione rifletterà le caratteristiche della popolazione con una certa approssimazione.

Un campione casuale non è semplicemente un insieme di numeri che in qualche modo vogliono analizzare, bensì questo insieme rappresenta un particolare risultato di un esperimento casuale.

Esperimento aleatorio o casuale

L’esperimento aleatorio o casuale è un processo, operazione, la cui esecuzione porta ad un risultato che non può essere previsto con certezza: tutti i possibili risultati dell’esperimento.

• A priori sono definibili.
• A priori non è possibile dire quale risultato si verificherà.
• A priori è possibile assegnare un certo “grado di incertezza”, probabilità, a tutti i possibili risultati dell’esperimento.

È sufficiente che:

• Siano definibili a priori i possibili risultati che possono scaturire da una sua osservazione.
• Che non sia prevedibile con certezza il risultato di un'osservazione.
• Che sia possibile assegnare un certo grado di incertezza al verificarsi di qualunque risultato in conseguenza dell'osservazione.

Campionamento casuale semplice

Il campionamento casuale semplice è il più semplice ed anche il più famoso campione casuale probabilistico ed è un metodo di campionamento in cui ad ogni estrazione della popolazione tutti i restanti elementi, unità campionarie, della popolazione hanno la stessa probabilità di essere incluse nel campione. Inoltre, le unità sono scelte indipendentemente.

Consideriamo due tecniche di campionamento:

• Estrazione con reinserimento: si ha un campionamento casuale semplice perché ogni unità mantiene la stessa probabilità di entrare a far parte del campione e le prove sono indipendenti l’une dall’altra.
• Estrazione senza reinserimento: non si ha un campione casuale semplice perché, a seguito di ogni estrazione, varia la probabilità delle singole unità di entrare a far parte del campione.

Le differenze fra le due tecniche sono minime quando si hanno popolazioni molto grandi.

In generale faremo riferimento a campioni casuali semplici quelli ottenuti con:

• Estrazioni con reinserimento da popolazioni finite.
• Estrazioni con o senza reinserimento da popolazioni infinite.

Un insieme di variabili ( , , . . . ) è detto campione casuale semplice con replicazione da una popolazione 1 2 ~(, ) se le n variabili casuali:

• Indipendenti.
• Identicamente distribuite alla distribuzione di probabilità della popolazione X.

È caratterizzato dal fatto che le unità vengono estratte una ad una, rimuovendo dalla popolazione la singola unità estratta e attribuendo, di volta in volta, la stessa probabilità di essere estratte alle unità rimanenti.

Esempio: le estrazioni casuali con ripetizioni producono le variabili casuali che sono indipendenti e tutte distribuite allo stesso modo secondo la funzione di probabilità P(X).

Consideriamo il campione casuale semplice ( , , . . . ) composto da n variabili casuali indipendenti e 1 2 identicamente distribuite. Denominiamo campione osservabile una specifica realizzazione del campione casuale, ossia un n-upla di numeri che indichiamo con ( , , . . . ) che si possono essere estratte dalla 1 2 popolazione; quindi, si fa riferimento allo spazio campionario.

Tutti i possibili campioni osservabili costituiscono lo spazio campionario o universo campioni.

La popolazione è completamente nota e specificata se la media e la varianza sono specificati, ossia i parametri che sono delle costanti, della popolazione e sono comunemente indicati con una lettera greca.

Statistica campionaria o variabile casuale campionaria

Si chiama statistica campionaria o variabile casuale campionaria una qualsiasi funzione delle variabili casuali X X X, , . . . e/o di costanti note che compongono il campione casuale. 1 2 n Ogni statistica campionaria, quale funzione di variabili casuali, è una variabile casuale.

Distribuzione della media campionaria

Si chiama distribuzione campionaria di una statistica la distribuzione teorica che evidenzia la relazione tra i possibili valori che possono essere assunti dalla statistica nell’universo dei campioni e la probabilità associata agli n elementi costituenti il campione stesso.

Data una popolazione, si consideri una sua caratteristica. Estratto dalla popolazione un campione, per fare inferenza sulla caratteristica si dovrà scegliere una statistica campionaria: la media campionaria ̅.

L'inferenza è basata sul fatto che ogni campione casuale determina un diverso valore della media ̅ e quindi ognuno di essi può essere visto come una realizzazione della variabile aleatoria ̅. La distribuzione campionaria di questa statistica è la distribuzione delle medie campionarie ottenuti su tutti i possibili campioni della stessa ampiezza estratti dalla popolazione.

Esempio: assumiamo che ci sia una popolazione di dimensione N=4. La variabile aleatoria, X, è l’età degli individui. I valori di X sono: 18, 20, 22, 24, in anni.

Qual è la distribuzione campionaria della media campionaria di dimensione n=2.

Misure di sintesi della distribuzione della popolazione. Poiché per calcolare la probabilità congiunta si fa il prodotto, grazie al fatto che sono indipendenti e visto che sono identicamente distribuite, la probabilità della prima estrazione è uguale alla probabilità di X, la variabile che descrive la popolazione, che è uguale alla probabilità del campione.

Prima colonna i valori distinti della media campionaria.

Nella seconda colonna metto la probabilità della media campionaria, probabilità dell’unione di eventi elementari e incompatibili -> quindi si fa la somma.

Misure di sintesi della distribuzione campionaria

̅) ̅( = ∑ = =(̅).

Nell’esempio: = (/) + (/)+. . . +(/) = = ( ) ̅ ̅ ) = ( − ( =) ̅ ( ) 52.

Nell’esempio: = 2.5 = ̅ 2.

Confronto tra la popolazione e la sua distribuzione campionaria.

Valore atteso e scarto quadratico medio della media

Se la popolazione è infinita oppure è una popolazione finita e il campione è con reintroduzione, la media delle medie è data da: ̅)( =.

Per verificare di quanto mediamente ci si allontana dalla media si usa lo scostamento quadratico medio: una misura della variabilità nel valore della media da campione a campione è data dall’errore standard della media: = ̅ √.

Notare che l’errore standard della media diminuisce aumentando la dimensione del campione.

Dunque, il valore atteso della media campionaria coincide con la media della popolazione.

La varianza della media campionaria, interpretabile come la media delle oscillazioni, date dagli scarti al quadrato, che essa presenta rispetto alla sua media, è data dalla varianza della popolazione divisa per n. Ciò significa che la “variabilità” della media campionaria è molto più piccola della "variabilità" presente nella popolazione.

Se la popolazione è normale

Se la popolazione è normale con media μ e scarto quadratico medio σ, allora la distribuzione campionaria di ̅ è normale con ̅)( = = ̅ √.

Poiché se X X X, , . . . che sono normali, allora ho una combinazione lineare di variabili casuali normali che 1 2 n è ancora normale. Allora anche ̅ è normale.

In altri termini, la variabile casuale ̅ è descritta dalla seguente funzione di densità:

Poiché se ho ̅.

In generale quando si standardizza la media campionaria, Z per la distribuzione campionaria di ̅:

̅ ̅( (− ) − )= = ̅ √.

Se la popolazione non è normale

Possiamo applicare il teorema del limite centrale:

• Anche se la popolazione non è normale, … la media campionaria della popolazione sarà approssimativamente normale.
• Purché l’ampiezza del campione sia abbastanza grande; quindi, quando n è sufficientemente grande.

Al crescere della dimensione del campione la distribuzione campionaria diventa quasi normale indipendentemente dalla distribuzione della popolazione. Basta che n sia sufficientemente grande, spesso n>25 o >30.

{ , , … } Sia una successione di variabili casuali indipendenti e aventi tutte la stessa distribuzione con valore 1 2 2 ( ) = μ ( ) = = 1,2, . .. atteso e varianza , { ̅ ∑ = /}.

Sia la successione delle medie aritmetiche fatte sulle prime 1, 2, . . . variabili casuali, in cui 2( ̅ ( ̅) = μ ) = e varianza.

Definiamo la variabile casuale standardizzata ̅( − )= √.

Allora, al tendere di n all’infinito, la variabile casuale ̅( − ) = √ tende ad una variabile casuale normale standard, e ciò a prescindere da quale sia la distribuzione di probabilità delle variabili casuali della successione 1 2 L’unica condizione è che tali variabili casuali siano { , , … } indipendenti e abbiano la stessa distribuzione.

Questo teorema vale sia su variabili aleatorie discrete che continue.

In modo equivalente, possiamo affermare che, quando n è molto grande, la distribuzione di probabilità della variabile casuale ̅ può essere approssimata con quella di una normale con media μ e varianza 2.

Pertanto, se le condizioni di validità del teorema sono soddisfatte, è possibile calcolare in modo approssimato ̅ ≤ ≤ la probabilità che − − ̅( ≤ ≤ ) ≍ ≤ ≤( ) √ √.

Il teorema del limite centrale può essere riformulato con riferimento alla successione di variabili casuali, cioè come somma del numeratore = ∑ , = , , … { } { , , … }. con le stesse assunzioni sulle variabili casuali della successione 1 2.

2( ) = ( ) = Poiché e , vale la relazione ̅( − ) − = = √√ 1 ))( ( ) = (Poiché 2.

Se n è sufficientemente grande, la distribuzione di probabilità di può essere approssimata con quella di una normale con media e varianza 2 normale con media e varianza − − ( ≤ ≤ ) ≍ ( ≤ ≤ ) √ √.

Distribuzione campionaria della proporzione

Sia la popolazione distribuita come una bernoulliana con parametri 1, p.

Le condizioni sottostante a questi:

• Popolazione infinite.
• Popolazione finite schema di estrazione con replicazione.
• Campione casuale IID.

Quando si lavora con una popolazione dicotomica un possibile campione casuale è una successione di 0 e 1. Ad esempio, un campione osservato di dimensione n=6, potrebbe essere: 0,1,0,0,0,1.

La media campionaria ̅= ̂ ∑ = =.

Applicata ad una successione di 0 e 1, indica il numero di “successi” diviso il totale delle osservazioni, n cioè, definisce la proporzione di successi sul campione. Per enfatizzare questo aspetto, la media campionaria viene spesso indicata con 0 ≤ ̂ ≤ 1.

Dove il cappello indica che è di natura campionaria e p sta ad indicare la popolazione su n numeri di successi.

Indichiamo con = ∑ =1 il numero di “successi” su n prove indipendenti, quanti “uno” ci sono nel campione.

Allora possiamo scrivere:

Sia X il numero dei successi in un campione di n osservazioni estratte da una popolazione bernoulliana con parametro p. Il parametro rappresenta la proporzione delle unità della popolazione che possiedono le caratteristiche oggetto di studio. Si definisce proporzione campionaria il rapporto:

̂= Dove x è la variabile casuale binomiale ed n la dimensione del campione.

Media e varianza della media campionaria per una popolazione bernoulliana

Abbiamo detto che la proporzione campionaria è una media campionaria quando si campiona da una Bernoulli.

Si ricorda che: ̅) ̂)