Statistica

Unità 1

Il termine statistica deriva dal latino status che indica l’analisi quantitativa di un fenomeno. Da ciò deriva la definizione espressa da Leti, che afferma che la statistica è una scienza che analizza in maniera quantitativa un fenomeno.

Ci vengono forniti dei dati che contengono una informazione potenziale, che con un’accurata analisi le diverse informazioni possono essere messe a confronto e quindi generare una conoscenza; quest’ultima rappresenta la base necessaria ai fini di un’indagine statistica.

Tutte le operazioni che vengono utilizzate sono:

• I conteggi: quante famiglie hanno più di 5 figli?
• Misurazioni: di quanto è la produttività di un’azienda?
• Classificazione: in base alla qualità;
• Sintesi del fenomeno.

Infatti la ricerca statistica parte da un problema che si analizza attraverso due approcci:

1. Approccio esplorativo: analisi dei dati;
2. Approccio confermativo: conferma di ipotesi poste già in essere.

Poi si effettua una raccolta dei dati che possono essere analizzati o uno per volta, o più caratteri per volta (modello multidimensionale); si analizzano questi dati e si cerca di interpretare i risultati per saperli leggere; infine, si effettua una conclusione per vedere se è conforme al problema posto: garage out e garage in: più o meno qualità si inserisce all’interno della ricerca statistica e minore o maggiore sarà il risultato.

La statistica cerca di analizzare un fenomeno formato da diverse unità statistiche che nel complesso formano una popolazione. Il fenomeno può essere analizzato o direttamente (evento nella collettività) o indirettamente (la qualità della vita); sostanzialmente, la statistica si focalizza su un fenomeno collettivo:

• O che si ripete lo stesso nel tempo e nello spazio;
• O che si riferiscono ad una collettività di casi singoli.

Le unità statistiche invece sono delle unità elementari di un fenomeno oggetto di studio e possono presentare una o più caratteristiche di interesse. La popolazione invece è un insieme di unità statistiche che presentano almeno una caratteristica omogenea. Può essere suddivisa in una serie di sotto popolazioni (genere maschile e genere femminile> esseri viventi). Se della popolazione si prende in considerazione un solo gruppo questo prende il nome di campione.

I dati sono l’osservazione delle specifiche caratteristiche di determinate unità statistiche, questi vanno analizzati e rielaborati o attraverso un’analisi totale, dalla quale scaturisce la vera e propria conoscenza del fenomeno, oppure attraverso un’analisi parziale che ci consegna soltanto una stima del fenomeno.

Ciascun fenomeno è formato da diverse caratteristiche che prendono il nome di carattere e si segnano con la X maiuscola, mentre le singole modalità che ogni carattere presenta si segnano con la x minuscola.

I caratteri possono essere:

• Quantitativi: espressi numericamente;
• Qualitativi: espressi con locuzioni o attributi.

I caratteri qualitativi si distinguono in:

• Caratteri ordinabili: se possono essere ordinati secondo una determinata scala gerarchica;
• Caratteri sconnessi: non possono essere ordinati secondo una scala gerarchica.

I caratteri quantitativi si distinguono in:

• Caratteri discreti: numeri interi;
• Caratteri continui: numeri reali.

Tipi di operazioni possibili

Per i caratteri qualitativi sconnessi si può dire solo se un carattere è diverso da un altro, se qualitativi ordinabili se un carattere è minore, maggiore o uguale a un altro carattere, e se sono quantitativi discreti o continui si utilizzano due tipi di variazioni:

• Una variazione relativa che effettua un rapporto tra due caratteri;
• Una variazione assoluta che effettua la differenza tra i due caratteri.

Se, infine, alla variazione relativa si sottrae uno e lo esprimiamo in termini percentuali, questo prende il nome di tasso di variazione che indica la velocità del cambiamento del fenomeno di interesse.

Unità 2

Quando si prende in considerazione un dato di questo si tratta o la sintesi dei dati che va appunto a sintetizzare quanto detto o la formazione dei dati, quest’ultima è data dalla rilevazione per ciascuna unità statistica delle modalità.

Ciò dà vita ad una tabella che prende il nome di data set, nella quale sulle righe troviamo le diverse unità statistiche, mentre sulle colonne i diversi tipi di carattere siano essi quantitativi o qualitativi. Le modalità invece vengono inserite nelle celle.

Si può parlare quindi di rappresentazione statistica che rappresenta i diversi caratteri quantitativi e qualitativi di un fenomeno oggetto di studio. A ciò si ricollega la distribuzione statistica che è tutte le manifestazioni di un fenomeno nel collettivo oggetto di studio. Quest’ultima può essere una distribuzione unitaria semplice se si riferisce a un solo carattere, o una distribuzione unitaria multipla quando si riferisce a più caratteri: uni-variata, bi-variata, multi-variata…

Il carattere si presenta con X (maiuscolo), la modalità con x (minuscola), la dimensione del collettivo si segna con N mentre le singole unità statistiche sono segnate da u (u con N rappresenta la ennesima unità statistica del collettivo). Per quanto riguarda le unità statistiche se fanno riferimento a un tempo, prendono il nome di serie storiche altrimenti se fanno riferimento a un’area territoriale prendono il nome di serie territoriale.

Sostanzialmente, tutte le caratteristiche possono essere ordinate in ordine crescente ovvero x1 rappresenta la prima modalità statistica inserita nella distribuzione statica mentre x(1) rappresenta la modalità statistica inferiore a tutte le altre modalità registrate, quindi la più piccola modalità osservata nel collettivo.

• Per quanto riguarda i caratteri quantitativi discreti e continui si parla di variazioni assolute e relative che vengono rappresentate o con una differenza o con un rapporto tra i due caratteri. In questo caso, se si fa riferimento ad un N le variazioni di quest’ultimo saranno N-1 (es. 16 sono gli anni durante i quali il prezzo del biglietto del cinema è variato, le sue variazioni durante tutti questi anni sono uguali a 15).

Distribuzioni di frequenza

Di solito si necessita di una distribuzione più compatta, pertanto si parla di distribuzione di frequenza che è quante unità statistiche presentano una determinata modalità nel collettivo oppure quante volte una modalità si presenta in un collettivo. La distribuzione di frequenza si distingue in frequenza assoluta o frequenza relativa:

• Frequenza assoluta: il conteggio di unità statistiche che presentano una determinata modalità e si esprimono con “n”;
• Frequenza relativa: il conteggio delle unità statistiche che presentano una determinata modalità rispetto ad un collettivo e si esprimono con “f”.
• Se vogliamo le distribuzioni di frequenza percentuali moltiplichiamo le frequenze relative per 100;
• Se vogliamo le frequenze relative facciamo n/N;
• Se vogliamo passare dalle percentuali alle relative dividiamo la percentuale per 100, se vogliamo passare alle assolute facciamo che n=f per N.

Le frequenze relative sono sempre comprese tra 0 e 1, quelle percentuali tra 0 e 100.

Distribuzioni in classe

Si può parlare anche di distribuzioni in classe che vengono utilizzate per la rappresentazione di caratteri quantitativi discreti e continui di un numero immensamente grande. Le distribuzioni in classe fanno sì che le modalità siano organizzate in intervalli di valori che prendono il nome di classi (K).

Per determinare il numero di classi non si utilizza un solo metodo ma bisogna ricordare che non possono essere minori di 4 o 5 o maggiori di 15-20; questo perché non possono essere né estremamente poche né estremamente grandi. Viene usata o la formula di Sturges oppure si può utilizzare la radice quadrata di N.

Le classi possono avere o la stessa ampiezza e quindi prendere il nome di classi equiampie oppure avere ampiezza diversa e prendere il nome di classi non equiampie. L’ampiezza (omega) è data dalla differenza tra il (massimo della distribuzione e del minimo della distribuzione)/k=numero classi.

• Le classi inoltre possono essere aperte o chiuse a seconda se gli estremi sono inclusi o meno nell’intervallo: la modalità più piccola è detta estremo inferiore e quella più grande è detta estremo superiore:
• Se chiusa a sinistra e aperta a destra: il minimo è incluso e il massimo è escluso;
• Se chiusa a destra e aperta a sinistra: il minimo è escluso e il massimo è incluso;
• Se chiusa: sono inclusi sia il minimo che il massimo.

Bisogna ricordare che le classi non possono essere mai vuote cioè con 0 unità statistiche.

Per rappresentare le distribuzioni in classe si usa l’istogramma, nel quale sulle ascisse sono rappresentate le classi, sulle ordinate l’intensità del fenomeno (frequenze assolute, relative o percentuali). L’area è data dalla base per l’altezza:

• Area = frequenza;
• Base = ampiezza;
• Altezza = densità di frequenza.

Infine la densità di frequenza è data dal rapporto tra frequenze assolute e ampiezza delle classi.

Frequenze cumulate

Se facciamo riferimento a un collettivo in esame ordinato, interessante sarà conoscere quali sono le frequenze con le quali si presentano modalità inferiori o uguali a una certa soglia. Le frequenze cumulate servono per fissare una delle modalità e leggere le distribuzioni rispetto ad essa. Si possono calcolare a partire dalle frequenze assolute, relative o percentuali e si distinguono perché sono segnate tutte con le lettere maiuscole.

Lavorare con più variabili

Quando si analizzano più variabili continuamente si parla di distribuzione unitaria doppia. Ciò non significa però che i due caratteri possano essere ordinati contemporaneamente.

Di solito vengono rappresentate su un piano cartesiano che prende il nome di diagramma di dispersione o scatterplot.

Le variabili doppie possono essere:

• Quantitative: espresse numericamente;
• Qualitative: espresse con attributi;
• Miste: caratteri quantitativi e qualitativi.

Si parla anche in questo caso di frequenze assolute e di frequenze relative. Le frequenze relative si ottengono dividendo ogni elemento per il gran totale che sarà sempre e comunque un numero compreso tra 0 e 1. Quando un elemento presenta allo stesso tempo modalità della variabile X e della variabile Y prende il nome di frequenza congiunta.

Quando si lavora con due variabili si possono ottenere quelle che vengono chiamate le frequenze marginali di riga o di colonna:

1. Le frequenze marginali di riga: è la distribuzione di frequenza della variabile X a prescindere dalla variabile Y;
2. Le frequenze marginali di colonna: è la distribuzione di frequenza della variabile Y a prescindere dalla variabile X.

Frequenze condizionate

È quando si vuole studiare la distribuzione della variabile Y rispetto ad un prefissato valore di X e viceversa e si ottengono due profili: il profilo riga e il profilo colonna. Il profilo riga è dato dallo studio della variabile Y data una certa modalità di X=xi, diversamente il profilo colonna è dato dallo studio della variabile X data una certa modalità di Y=yi.

In questo caso, per poter calcolare il profilo riga andiamo a dividere ogni elemento sulla riga per il totale della riga stessa, diversamente se vogliamo calcolare il profilo colonna andiamo a dividere ogni elemento sulle colonne per il totale della colonna stessa.

Unità 3

Solitamente si cerca di studiare la manifestazione del carattere oggetto di studio in ciascuna delle unità che compongono il collettivo. Pertanto è utile conoscere l’intensità totale del fenomeno del collettivo studiato, cioè l’ammontare di carattere posseduto complessivamente da tutte le unità statistiche: quanto più c’è un’intensità maggiore, quanto più il carattere è grande.

Può essere calcolata in diversi modi, ovvero si utilizzano diversi operatori matematici tra cui: la somma, il prodotto e la potenza. La scelta tra quali scegliere più opportunamente viene fatta tenendo conto di cosa stiamo studiando:

• Distribuzione unitaria: abbiamo singole unità statistiche e quindi l’intensità totale sarà calcolata con la sommatoria delle singole unità statistiche. Nel caso in cui si sta studiando dei fenomeni in cui l’intensità cresce proporzionalmente allora in questo caso si utilizza la produttoria delle xi;
• Distribuzioni di frequenza: quante volte ho osservato xi. L’intensità totale si calcola con la sommatoria di xi per ni ovvero delle modalità osservate per la corrispondente frequenza. Nel caso in cui si sta studiando un fenomeno in cui l’intensità cresce proporzionalmente, allora utilizziamo la produttoria di xi elevato a ni, ovvero avremo la modalità elevata alla corrispettiva frequenza.

Tuttavia bisogna porre in essere quella che è la sintesi dei dati, sintetizzando in un unico dato numerico una caratteristica di interesse. Ovvero si cerca di sostituire tutte le modalità del carattere in esame con un’unica modalità che le rappresenti: ottenuta l’intensità totale del fenomeno è necessario procedere ad una redistribuzione dello stesso su tutte le unità statistiche.

Quindi si indicano degli opportuni indici sintetici del fenomeno considerato, dette misure o indici di centralità. Queste misure di centralità esprimono sinteticamente il centro ideale della distribuzione. Alcuni indici sono adatti a sintetizzare tutti i tipi di carattere, altri invece riescono a sintetizzare solo i caratteri quantitativi. Pertanto la scelta di un indice sintetico deve tener conto:

1. Tipologia del carattere (qualitativo o quantitativo);
2. La sua rappresentazione statistica (distribuzione unitaria, di frequenza o in classi);
3. Le motivazioni che inducono a riassumere la distribuzione in un unico valore.

Media

La media dà un’idea immediata della manifestazione del fenomeno nel collettivo, si distinguono:

• Medie analitiche: fanno riferimento ai caratteri quantitativi e pertanto utilizzano delle operazioni algebriche sulle modalità;
• Medie di posizione: fanno riferimento anche a caratteri qualitativi e pertanto non richiedono operazioni algebriche sulle modalità.

La media (M) di una variabile X secondo Cauchy, è sempre quel valore interno alla distribuzione: (es. voti a scuola compresi tra 6 e 8, la media non potrà mai essere del 9). Pertanto si parla di internalità della media.

Chisini, invece afferma che, la media è quel valore interno che rispetto ad una funzione sintetica lascia inalterato il valore.

Media aritmetica

La media aritmetica parte dall’intensità totale e può essere calcolata sommando tra di loro le diverse xi dividendole poi per N, quindi sostanzialmente è uguale all’intensità totale fratto il numero del collettivo.

• Nel caso di frequenze assolute sarà uguale alla sommatoria delle xi per ni fratto N; ovvero la sommatoria delle modalità per le corrispondenti frequenze assolute, tutto diviso N;
• Nel caso di frequenze relative invece sarà uguale alla sommatoria delle diverse xi per fi, ovvero alle modalità per le corrispondenti frequenze relative, e non vado a dividere per N in quanto si può già dire che esse stesse sono già divise per N perché nelle frequenze relative N=1;
• Nel caso di distribuzioni in classi invece si va a calcolare il valore centrale (estremo superiore più estremo inferiore di ciascuna classe, diviso due), vado poi a moltiplicare ogni valore centrale per la frequenza, sommo i prodotti e ottengo l’intensità totale. Divido poi tutto per N, ottenendo così il prezzo medio per ogni unità statistica. In questo caso però il calcolo della media risulta soltanto essere un’approssimazione della realtà.

Sostanzialmente la media aritmetica ha diverse proprietà:

1. La media è sempre un valore interno alla distribuzione, pertanto si parla di internalità della media;
2. La somma di tutte le differenze tra i valori della distribuzione e il loro valore medio è sempre pari a zero;
3. La media è l’unico valore che minimizza la somma degli scarti al quadrato;
4. La media gode della linearità, ovvero è invariante per trasformazioni affini;
5. La media di un carattere osservato su una popolazione divisa in sottogruppi è pari alla media delle medie di tutti i sottogruppi (associatività della media).

Linearità della media aritmetica

Dato un certo fenomeno, se viene effettuata una traslazione la media si muove lungo questa nuova distribuzione: ovvero se si aggiunge a tutti i valori una costante A allora la media sarà pari alla media della distribuzione originaria maggiorata della costante A. Allo stesso modo se moltiplichiamo tutti i valori per una costante B allora la media della nuova distribuzione sarà proporzionale a quella della distribuzione originaria di una quantità B:

Es. 18-20-22> la media è 20; se aggiungo ad ogni valore 3: 18+3=21 20+3=3 La media sarà uguale a 20+3, quindi 23. 22+3=25.

Associatività della media aritmetica

Se suddivido il collettivo in sotto collettivi diversi, questi possono essere trattati come delle sottopopolazioni più piccole. A partire dalla media della sottopopolazione, calcolo la media totale delle medie delle medie. Quindi prendo la media di ciascuna sottopopolazione, la moltiplico per quante unità statistiche appartengono alla sottopopolazione, sommo la media degli altri sotto collettivi e la divido per N, dopo di che la dimensione del collettivo la ottengo come somma delle dimensioni delle