Statistica primo anno

Capitolo 1: Introduzione alla statistica

Introduzione

La statistica è una metodologia strumentale per l’analisi della realtà (fisica, biologica, umana, etc.). Essa, a differenza della medicina, della giurisprudenza e dell’ingegneria, non affronta i casi singoli nel quadro di normative o leggi generali; essa cerca di arrivare a leggi generali a partire dalla conoscenza aggregata di tanti casi accomunati da regole e definizioni. La statistica ci offre gli strumenti per organizzare, riassumere, analizzare i dati ottenuti attraverso le nostre misurazioni.

La statistica si divide in due grandi aree:

• Statistica descrittiva: organizza, riassume e si usa per la descrizione e la presentazione dei dati (utili per capire quanto sono forti le relazioni osservate).
• Statistica inferenziale: fa previsioni, testa ipotesi. L'inferenza ha lo scopo di dedurre (inferire) le caratteristiche dell’intera popolazione a partire da dati raccolti (utili per capire se le relazioni sono dovute al caso o no).

Alcuni concetti di base

La popolazione (o universo) è qualsiasi insieme di elementi che forma l’oggetto di uno studio statistico (es. la popolazione delle stelle della Via Lattea).

Vantaggi: ricerca accurata.

Svantaggi: tempi lunghi, costosa e non sempre possibile (alcune volte la popolazione può essere infinita, come i potenziali malati di una certa malattia, o inaccessibile).

Campione: comprende solo una parte della popolazione; esso è un sottoinsieme della popolazione composto da n partecipanti, tutti con la stessa caratteristica oggetto della ricerca. È indispensabile che sia rappresentativo della popolazione. Un campione è rappresentativo se i partecipanti alla ricerca riflettono le caratteristiche dell’intera popolazione. Per ottenere un campione rappresentativo si utilizzano alcuni metodi:

• Campione abbastanza ampio (elevata numerosità) per avere dei risultati generalizzabili.
• Utilizzare una selezione casuale, ossia tutti i substrati della popolazione devono avere la stessa probabilità di essere selezionati per far parte del campione.

Principali metodi di campionamento

Il campionamento può essere:

• Stratificato: si divide la popolazione in sottogruppi omogenei e da ciascuno si estrae un campione casuale (es. divido gli studenti in base all'età ed estraggo un campione in base alla fascia di età considerata).
• Campionamento a blocchi (cluster): si raggruppa la popolazione in blocchi e si fa un campionamento (es. si divide una città in settori, e su questi si svolge l'indagine).
• Campionamento sistematico: si selezionano un elemento ogni k elementi successivi (es. intervistare un soggetto ogni trenta persone che escono).

La statistica quindi, permette di fare deduzioni ed induzione dal particolare al generale.

Capitolo 2: L'indagine statistica

Fasi di una indagine statistica

Le fasi di una indagine statistica si conviene siano le seguenti:

• Definizione degli obiettivi della ricerca
• Rilevazione dei dati
• Elaborazione metodologica (i software più usati oggi sono SAS ed SPSS)
• Presentazione ed interpretazione dei risultati
• Utilizzazione dei risultati della ricerca

Rilevazione statistica

La rilevazione statistica è il complesso di operazioni rivolte ad acquisire una o più informazioni su un insieme di elementi oggetto di studio e con riferimento al collettivo da analizzare essi si dividono in:

• Globali (censimenti)
• Parziali (rilevazioni campionarie)

L'unità statistica è l'elemento base della popolazione sul quale viene effettuata la rilevazione (es. la famiglia).

Il carattere è il fenomeno oggetto di studio e può essere:

• Qualitativo (es. il sesso, maschio o femmina)
• Quantitativo (es. l'unità)

La modalità è il numero o l’attributo (per caratteri qualitativi) che l’unità statistica manifesta. Un carattere quantitativo si definisce variabile se assume per modalità dei numeri reali, mentre un carattere qualitativo si definisce mutabile se assume attributi non numerici.

Concetto di variabile statistica

Variabile: caratteristica che varia tra i partecipanti alla ricerca. Assume tra i partecipanti valori diversi. Es. essere iscritti ad uno dei tre corsi di laurea all’interno della facoltà, essere maschi o femmine, aver preso un voto diverso tra 18 e 30...

L’interesse del ricercatore è quello di prendere in esame queste proprietà che variano e la statistica è lo strumento che consente di trarre delle informazioni a partire da questa variabilità.

Le variabili (carattere) possono essere:

• Continue (altezza, temperatura, età, peso) ossia sono quelle capaci di assumere qualsiasi valore contenuto in un intervallo reale predefinito;
• Discrete quelle che hanno per modalità i numeri naturali (1,2 etc., lanci di un dado, numeri di figli).

Variabili qualitative e quantitative

Variabile qualitativa: è caratterizzata da specifiche categorie (es. sesso di una persona: maschio o femmina).

Variabile quantitativa: è caratterizzata da valori che esprimono in termini quantitativi la proprietà definita da quella variabile (es. altezza di una persona).

Variabile indipendente (causa): ciò che viene manipolato dallo sperimentatore o dalla natura o dagli eventi o propria del campione. Si parla anche di predittore, intendendo il fattore che predice una determinata variazione.

Variabile dipendente (effetto): ciò che risulta dall’impatto della variabile indipendente. Misurata sul campione, la sua variazione è legata al variare della variabile indipendente.

Frequenza: la frequenza è il numero di volte che una data modalità si presenta nel collettivo di riferimento (quando la frequenza è un numero intero si parla di frequenza assoluta; se essa è rapportata al totale della popolazione, si parla di frequenza relativa).

Capitolo 3: La statistica: introduzione e approfondimenti

Definizione di statistica

• La statistica è una disciplina scientifica che trae i suoi risultati dalla raccolta, dall’elaborazione e dall’analisi dei dati.
• La statistica è quella branca della matematica che si occupa di studiare scientificamente come gli individui di una popolazione sono orientati rispetto ad una certa proposta. Più in generale potremmo dire che essa si occupa dello studio di fenomeni collettivi osservabili nella realtà sociale o in natura o in laboratorio. Ad esempio sono statistiche l’ammontare della popolazione e la sua distribuzione per sesso; il numero degli alunni iscritti ad un corso di laurea; il reddito pro-capite.

La statistica: introduzione e approfondimenti

La statistica si distingue tra:

• Statistica descrittiva o deduttiva: cerca di descrivere e analizzare un dato gruppo senza trarre conclusioni circa un gruppo più grande.
• Statistica induttiva o inferenziale: se un campione è rappresentativo di una popolazione spesso si possono inferire dall’analisi del campione importanti conclusioni circa la popolazione.

Fasi dell'indagine statistica

La rilevazione statistica è la raccolta delle informazioni riguardo il fenomeno che si vuole andare ad analizzare. L’indagine statistica si articola attraverso cinque fasi:

• Piano della rilevazione: riguarda il problema da analizzare;
• Rilevazione dei dati: si fissa il piano per la raccolta dei dati;
• Spoglio o classificazione: attraverso tabelle, grafici e disegni;
• Elaborazione dei dati: mediante operazioni matematiche che sintetizzano i dati;
• Interpretazione dei risultati: si effettua un’analisi sui risultati e si formula un giudizio.

Definizione di unità statistica

Unità statistica: è l’unità elementare oggetto di osservazione e di studio.

• Unità semplici: persone singole (il lancio di una moneta, il prezzo di un determinato bene);
• Unità composte: aggregati di unità semplici simili (le famiglie, le aziende, le scolaresche);
• Unità multiple: costituite da insiemi di unità semplici diverse, legate da un vincolo (marito e moglie, altezza e peso di una persona);

Definizione di popolazione e di campione

Un insieme di unità statistiche omogenee rispetto ad uno o più caratteri costituisce un collettivo statistico o una popolazione.

La popolazione può essere finita o infinita.

• Finita quando è determinabile il numero di unità che la formano (es. il numero di iscritti alla facoltà di ingegneria).
• È finita ma non numerabile se risulta composta da un numero talmente grande da non poter effettuare l’enumerazione (es. le stelle di una galassia).
• È infinita quando la successione delle unità non ha fine (es. lancio di una moneta).

A volte per ridurre i costi e i tempi di realizzazione di un’indagine o per la difficoltà di osservare tutte le unità statistiche, si rileva un campione di dimensione n della popolazione, mediante un opportuno procedimento di scelta (teoria del campionamento, alla base dell’inferenza statistica). Un campione può ritenersi rappresentativo se presenta le stesse caratteristiche della popolazione di origine.

Definizione di carattere

I caratteri sono gli aspetti delle unità statistiche. Per ogni carattere c’è bisogno di distinguere la modalità. Ad esempio: la moneta ha come modalità “testa” e “croce”. Il carattere sesso ha come modalità “maschio” e “femmina”.

I caratteri possono essere:

• Quantitativi: se le modalità sono espresse attraverso una grandezza misurabile o numerabile.
• Qualitativi: se le modalità sono espresse mediante espressioni verbali o attributi.

Carattere qualitativo o mutabile

• Carattere sconnesso: quello le cui modalità non presentano un ordine naturale o logico di successione (sesso, stato civile, professioni).
• Carattere rettilineo: quello le cui modalità possiedono un ordinamento sequenziale con una modalità iniziale e una finale (il grado di soddisfazione, il titolo di studio, tenore di vita).
• Carattere ciclico: quello le cui modalità presentano un ordine naturale di successione (i giorni della settimana, le stagioni).

Carattere quantitativo o variabile

• Carattere discreto: quello che ha per modalità i numeri naturali (1,2,3, numero di figli).
• Carattere continuo: quello che ha per modalità tutti i valori compresi in un certo intervallo (l’altezza, l’età, il peso).
• Carattere trasferibile: sono caratteri che si può pensare di cedere tutto o parte dell’ammontare di un'unità statistica ad un’altra (il reddito).
• Carattere non trasferibile: sono propri dell’unità e da questa non cedibili ad altre (età, il peso, l’altezza).

Scala di misura

È bene precisare che è anche necessaria una classificazione precisa dei caratteri da rilevare mediante un procedimento di misurazione. Un procedimento di misurazione di un determinato fenomeno consiste in un insieme di operazioni che assegnano dei numeri a concetti e variabili su una prefissata scala. Esistono quattro scale:

• Scala nominale
• Scala ordinale
• Scala ad intervalli
• Scala di rapporti

Scala nominale

• Le modalità sono semplicemente un “aggettivo” o un “nome” assegnato individualmente
• Non esiste la possibilità di ordinare le modalità

Esempio:

• Sesso
• Professione

Scala ordinale

• Le modalità sono ordinabili
• La distanza tra le modalità non ha alcun significato

Esempio:

• Titolo di studio

Scala ad intervalli

• Le modalità costituiscono un insieme numerico ordinato
• Ha senso solo effettuare confronti per differenza tra le modalità. Le scale ad intervallo sono quelle che assumono un zero arbitrario che rappresenta una convenzione e non l’assoluta assenza del fenomeno.

Esempio:

• Temperatura. La misurazione può avvenire con la scala Celsius oppure con quella Fahrenheit

Torino 10° C equivalente a 50°F
Palermo 20° C equivalente a 68°F

Scala di rapporti

• Esiste uno zero assoluto e ha senso
• Si possono definire sia i rapporti che i prodotti. Ha senso dire “abbiamo avuto il doppio di ordini rispetto all’ultimo mese”. Le scale di rapporto sono quelle che assumono un zero assoluto che indica l’assoluta assenza del fenomeno.

Capitolo 4: Frequenza e distribuzione statistica

La frequenza

Quando si raccolgono dei dati su una popolazione o su un campione, i valori ottenuti si presentano allo statistico come un insieme di dati disordinati; i dati che non sono organizzati, sintetizzati o elaborati sono chiamati dati grezzi. Si definisce frequenza il numero delle unità di un carattere che presentano la stessa modalità. Esistono due tipi di frequenze:

• Frequenza assoluta – il numero delle volte n_i, in cui la modalità x_i è stata osservata.
• Frequenza relativa – è il rapporto tra la frequenza assoluta n_i, ed il totale delle n frequenze. f_i = n_i/n 0 ≤ f_i ≤ 1

Frequenze cumulate: corrispondenti al valore di x_i è la somma delle frequenze assolute o relative dalla prima modalità fino a comprendere quella x_i.

• Frequenze assolute cumulative: C₁ = n₁, C₂ = n₁ + n₂, ... , C_k = n₁ + n₂ + ... + n_k
• Frequenze relative cumulative: F₁ = f₁, F₂ = f₁ + f₂, ... , F_k = f₁ + f₂ + ... + f_k

Le distribuzioni statistiche

La classificazione delle unità statistiche (ossia le unità elementari oggetto di osservazione e di studio) secondo la modalità di uno o più caratteri e la conseguente tabellazione dei risultati dell’indagine oggetto di studio dà luogo alle distribuzioni statistiche:

• Distribuzioni di unità: un'elencazione degli attributi con la quale ciascun carattere si presenta
• Distribuzioni di quantità: se esprime l’intensità di un carattere
• Distribuzioni di frequenza: se esprimono il numero di volte in cui una modalità di un carattere si presenta

La distribuzione in classi

Se la variabile statistica presenta numerose modalità è conveniente un accorpamento delle stesse. Quindi quando i dati sono numerosi conviene procedere ad una suddivisione in classi del carattere. Se il carattere quantitativo è discreto (ha per modalità i numeri naturali 0,1,2,3,4,..., es. numero di figli) tale operazione risponde ad una necessità pratica, mentre se è continuo (ha per modalità tutti i valori compresi in un certo intervallo, es. l’altezza) è un’operazione indispensabile in quanto i valori della variabile sono infiniti ed è impossibile elencarli tutti.

Classi Frequenza:

• x₀ - x₁ n₁
• x₁ - x₂ n₂
• ...
• x_i-1 - x_i n_i
• ...
• x_k-1 - x_k n_k

x₀ = è la modalità più piccola = x_min
x_i-1 = estremo inferiore della classe
x_i = estremo superiore della classe
x_k = è la modalità più grande = X_max

La classe è aperta se entrambi gli estremi sono esclusi (-);
La classe è chiusa a sinistra se solo l’estremo sinistro è incluso ( |- );
La classe è chiusa a destra se solo l’estremo destro è incluso ( -| );
La classe è chiusa se entrambi gli estremi sono inclusi ( |-| );

L’ampiezza delle classi è differenza tra estremo inferiore e superiore h_i = x_i – x_i-1
La densità di frequenza è il rapporto tra la frequenza e l’ampiezza della classe d_i = n_i / h_i
Il valore centrale è la semisomma dei due estremi: VC = (x_i+x_i-1)/2
La stima dell’ammontare di una classe è il prodotto del valore centrale della classe e della sua frequenza: VC * n_i

Per il calcolo del numero minimo di classi si può utilizzare la formula di Sturges: S = 1 + 10/3 log n
n è il numero di frequenze totali
L’ampiezza della classe si calcola considerando il seguente rapporto: w = (x_max – x_min) / S

Capitolo 5: Rappresentazioni grafiche

Introduzione

Le rappresentazioni grafiche hanno lo scopo di visualizzare le caratteristiche distributive, dinamiche e strutturali delle distribuzioni. Inoltre, lo strumento grafico ha lo scopo di rendere più intuitive le differenze che esistono tra le modalità. Le rappresentazioni grafiche possono essere per:

• I dati qualitativi vengono rappresentati graficamente nell’ortogramma o nel diagramma circolare;
• I dati quantitativi vengono rappresentati graficamente negli istogrammi o nei Box Plot;

Rappresentazioni grafiche: dati qualitativi

L’ortogramma può essere di due tipi:

• A nastri
• A colonne

A nastri: su una retta orizzontale si fissano l’origine e l’unità di misura, che dipende dal fenomeno che si va a rappresentare, e sull’asse verticale si pongono tanti rettangoli, detti nastri, equidistanti e sovrapposti quante sono le modalità del carattere oggetto di studio.

A colonne. Si invertono gli assi;

A nastri: A colonne:

Diagrammi circolari (a torta) Si utilizza una circonferenza suddivisa in tanti spicchi, “settori circolari”, con angoli al centro uguali o proporzionali.