Statistica

Statistica

La statistica studia il comportamento di fenomeni collettivi e di massa, organizza e descrive i dati di un certo fenomeno, cercando di trarre conclusioni generali sugli stessi.

Alcune definizioni

Popolazione statistica: Insieme degli elementi che riguardano un determinato fen. Unità statistica: Singolo elemento che appartiene alla popolazione. Campione statistico: Parte o sottoinsieme della popolazione. Osservazione: Lo specifico valore che il fenomeno assume in una determinata unità.

Variabile casuale = Fenomeno

Il Fenomeno

• Quantitativo
• Discreto: I valori sono di un insieme discreto
• Continuo: Può assumere infiniti valori
• Qualitativo
• Ordinale: I valori sono in ordine
• Categoria: I valori attribuiscono ai depen (es. No/F si)

Indagine statistica

Sperimentale

Su campione

Si accolgono idee

Statistica

Descrittiva: Oltre sintesi degli elementi.

Induttiva: Distribuzione dei valori di probabilità dei valori dell fen.

Statistica

x₁, x₂ ... x_n n° osservazione

Dato: Popolazione di dimensione N H₁, d₁, d₂ ... d_k n = 9 120, 100, 250, 120, 125, 100, 252, 120, 252

Le k est sono 100, 120, 125, 250, 252

k = 5 "nuove alienza" ➲ Xk valori distinti

Statistica

La statistica studia il comportamento di fenomeni collettivi e di massa, organizza e descrive i dati di un certo fenomeno, cercando di trarne conclusioni generali su di esso.

Alcune definizioni

• Popolazione statistica: insieme degli elementi che riguardano un determinato fenomeno.
• Unità statistica: singolo elemento che appartiene alla popolazione.
• Campione statistico: parte o sottoinsieme della popolazione.
• Osservazione: lo specifico valore che il fenomeno assume in una determinata unità.

Il Fenomeno

• Quantitativo:
• Discreto: i valori sono in un insieme discreto
• Continuo: può assumere infiniti valori
• Qualitativo:
• Ordinale: i valori sono in ordine
• Categorico: i valori dell'insieme di categorie (es. note)

Indagine statistica

Sospensione

Si accapona idea

Statistica

Descrittiva: oltre strumenata matematica.

Induttiva: da distribuzione dei valori di probabilità dei valori del fenomeno.

Statistica

Dati: popolazione di dimensioni h₁, d₁, d₂, ..., d_k

x₁, x₂, ..., x_n n° osservazioni

1. n=9

120,100,250,120,125,100,252,120,252

x_k valori distinti k k modalità

Ce test sono 100,120,125,250,252

k = 5 "nuova caliónia"

Frequenza assoluta

Della generica modalità di: i° osservazioni della popolazione

di = Fi = h∑_i=1^k Fi = N

F(100) = 2

F(110) = 3

F(115) = 1

F(150) = 1

F(152) = 2

Frequenza relativa

fi = Fi / n

percentuale dei casi

∑_i=1^k fi = 1

f₁ = 2/9

f₂ = 3/9

f₃ = 1/9

f₄ = 1/9

f₅ = 2/9

Frequenza cumulata assoluta

n° oss ≤ di

F_c = F₁ + F₂ + F₃ + ... + F_i

Somma delle freq. assolute delle modalità ≤ di

∑_i=1^k F_c = N

Fc₁ = 2

Fc₂ = 5

Fc₃ = 6

Fc₄ = 7

Fc₅ = 9

Frequenza cumulata relativa

% n° oss ≤ di

F_c del minimo = 0

f_c = F_c / n

F_c = F_i=1 + ... + F_i

Istogramma della freq

(Disegno vel.)

Densità di / di+1 di freq. Area deve essere proporzionale alla frequenza relativa h_i = A / (a - ai)

Indici statistici

Media, mediana, moda, quartili

μ = somma sss / n x pps: Indaco μ x complesso x

μ = (Σ xᵢ) / n

li = Σₖ fᵢ dᵢ / Σ fᵢ

li = f₁ d₁ + f₂ c₂ + ... + fₖ cₖ / h

Media ponderata

1. μ = (120 + 100 + 250 + 120 + 125 + 100 + 125 + 110 + 250) / 9
2. li = (100 x 2) + (120 x 3) + (125) + (250) + (2 x 25 x 2) / 8
3. n = 10
4. x₁ = 176 x₂ = 184 x₃ = 177 x₄ = 193 x₅ = 194 x₆ = 196 x₇ = 199 x₈ = 176 x₉ = 179

c₁ = 173 c₂ = 184 c₃ = 193 c₄ = 199 c₅ = 239

d₁ = 3 d₂ = 5 d₃ = 7

f₁ = 1/10 f₂ = 2/10 f₃ = 3/10

d₅ = 39

F₁ = 1 F₂ = 3 F₃ = 6

f₅ = 2/10

ΣF = 10 = n ok

Σf = 1 ok

xᵢ - x + c x - t c x + c - c(c x, c_X, c_X)

Traccia sulla media

k₁, x₂ ... x_n, μ

Media ponderata

Ad ogni osservazione assegni importance diversa ρ₁, ρ₂, ρ_n

g_ip = (Σ pᵢ xᵢ) / Σ pᵢ

1. Informatica voto 27 P₁ = 2
2. Statistica voto 30 P₂ = 1

voto = ((27 x 2) + (30 x 1)) / 3 = 28

Mediana

(L'en parlato) È il valore del primo ordine il numero di osservazioni pari

1. Se n oss è Pari — non c'è val centrale — ferma media dei 2 c.x. centrali
2. Se n oss è Dispari — ferma il valore che cade

62 28 90 62 73 80 32 96 36 MIO FERI!

28 8 96 62 in orcine bordo ferie ferie + pstruvium

Moda

А 90 è 28

Quartile

Divide in 4 il numero delle oss

Decile

Divide in 10 il n oss

Percentile

"100"

Indici di dispersione

1. Campo di variazione
2. Scarto per mezzo assoluto
3. Varianza (scarto quadratico medio)
4. Deviazione standard

Campo di variazione

R differenza tra l'oss + grande e + piccola R = X_max - X_min

Scarto

Rispetto ad un'osservazione x_i S_i = x_i - g_x numeri >= _i

d_i = k · d_i

d_i = ΣS_i/n = 0

d'amo = (x_i - g_x)

g_x = Σx_i/n

Scarto medio-assoluto

È il medio degli scarti assoluti

Varianza

σ²= S₁² S₂² S_n²

σ = √(Σ(x_i - g_x)²/n)σ²

Minore è la varianza, meno i dati sono dispersi.

La varianza è una misura quadratica - Se le oss sono in cm σ² è in cm² - si esprime radice.

Deviazione standard o scarto quadr. medio

♀ Deviazione standard o scarto quadr. medio ♂ Esempio

Anna = 30, 30, 28, 30, 26

Stefano = 21, 30, 30, 30, 30

Più variabili

Oss. con n variab. i fenomeni - abbiamo coppie di osservazioni (X_i, Y_i).

Esempio n = 6 h176158145167171 kg6542436457

Si nota che Sh, kg cov (h, kg) = 133.9

osservare

Covarianza

\(\mu_x = \frac{\sum x_i}{n}\)

\(\mu_y = \frac{\sum y_i}{n}\)

\(\text{COV}(x,y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu_x)(y_i - \mu_y)\)

Se cov > 0 al crescere di x cresce anche y

Se cov \(\text{COV}(x,x) = \sigma^2_x\)

\(\text{COV}(x,y) = \text{COV}(y,x)\) asimmetrica

Matrice di covarianza

\(x \quad \sigma^2_x \quad \text{cov}(x,y)\)

\(y \quad \text{cov}(y,x) \quad \sigma^2_y\)

\(x\)

\(y\)

Valori pari di cov indicano l'energia fra le 2 var.

cov = 0 variabili non hanno legame

Coefficiente di correlazione lineare

Quando le variabili saranno su una retta

\(r_{xy} = \frac{\text{cov}(x,y)}{\sigma_x \sigma_y}\) asimm

\(r_{xx} = \frac{\sigma^2_x}{\sigma^2_x} = 1\)

\(-1 \leq r_{xy} \leq 1\)

I valori

\(r = +1\)

\(r = -1\)

\(r = 0\)

Variabili sono legate secondo una retta con m > 0

Variabili sono legate secondo una retta con m indipendenza tra le due variabili

Matrice

\(x \quad \sigma^2_x \quad \text{cov}(x,y)\)

\(y \quad \text{cov}(y,x) \quad \sigma^2_y\)

\(x \quad r_{xy}\)

\(y \quad r_{yx} \quad 1\)

un esempio pr.: \(\text{cov}(x,y) = 13.3\)

\(\sigma_x = 12.13 \quad \sigma_y = 12\)

\(r_{xy} = \frac{13.3}{12 \times 12.13}\)

\(r = 0.92\)

\(\text{calc}\) \(0.92\)

Esercizio di esame

Rispondi con V e F, motivando

1. La f.c. e' sempre >1 F e' sempre 0- tutta l'area sotto a p(x) deve essere = 1 ...- l'area sotto a un ... (finito) ......

Valore atteso E(x) o medio

...

Varianza

Var(x)

Var(x) = ∫_-∞^+∞ (x - E(x))² p(x) dx

Var(x) = ∑_i=1^q (x_i - E(x ))² ρ(x_i)

Probabilità cumulata

P^c(x) = ∫_-∞^x ρ(y) dy

fornisce la probabilità di avere un valore minore o uguale a x

P(x ≤ k) = P^c(k)

se x → ±∞ P^c(x) → 1

P(x ≥ k) = 1 - P^c(k)

P(c(k_c) = P^c(h) da val. compreso

Mediana

P^c(X_m) = ∫_-∞^+∞ p(x) dx = 0,5 (2˚caratt. d'un prob.)

Moda

Valore a cui corrisponde un massimo della p(x) determinata dalle iterazioni dei max var.

NB! P(x ≤ b) - P(x ≤ h) P(x ≤ b) P(x ≤ h)

Distribuzione uniforme

P(x) = ¹/_b-a a ≤ x ≤ b

ρ(x) = 0 x ≤ a x > b

Seguita da una var. continua in [a,b]

Δ=1

E(x) = X_m = ^a+b/₂

Var(x) = σ² = ^(b-a)2/₁₂

p^c(x) = 0 x < a

p^c(x) = ^x-a/_b-a a < x < b

p^c(x) = 1 x > b

Esercizio

L'ombrellone (cm) con cui si misurano le durate di vita sperimentali è distribuito secondo una uniforme con parametro a = 100 e b = 500. Calcula prob.di scegliere un ombrellone di "" " " compreso tra 200 e 400 cm

Mi manca p(x) = ¹/_b-a = ¹/₄₀₀

^400-200/₄₀₀ = 0,5

Distribuzione normale o Gaussiana

P(x) = ¹/_σ√2π e ^-(x-μ)2/_2σ² ∞ <= x <= ±∞

La normale è simmetrica e asimmetrica

Valore ≍ μ dev. standard: σμ = x = modo

Intorno al σ i valori sono più densi attorno ad μ

Intervallo amplia 2σ

Area = 0.68

Distribuzione normale standard

μ = 0

σ = 1

P(z) = ¹/_√2π e ^-z2/₂

-∞ < z < +∞