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Varianza (wiki)

σ_x² = E[(X - E[X])²] è il valore atteso del quadrato della var. aleatoria centrata X - E[X]

Covarianza (wiki)

Cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] è il prodotto valore atteso dei prodotti delle loro distanze dalla media.

Valore atteso

(o V. medio)

1D: E{u}_^k(h)} = μ(h) N×1

2D: E{u(m, h)} = μ(m, h) righe colonne M×N

Varianza

σ_u²(h) = E[|u(h) - μ(h)|²] = diag[̅(n, n^')]

Covarianza

1D

Cov[u(h), u(n^')] = E{[u(h) - μ(h)][u^*(h^') - μ^*(n^')]^T}

R_u = R = r(n, n^') (matrice N×N)

Matrice (R_u) hermitiana simmetrica e trasposta

R_u = R^u*T

2D

Cov{u(m, n), u(m^', n^')} = E{[u(m, n) - μ(m, n)][u^*(m^', n^') - μ^*(m^', n^')]}

Tensore 4^o ordine r(m, n, m^', n^')

Autocorrelazione

1D: σ²(h) = r(h, n) = diag(R)

Covariano con sé stesso

N.B. Non esiste un'ecologia in 2D

Proprietà

La matrice di covarianza R_u è hermitiana

DIM: Calcolo R_u^* = E{(u - μ)(u - μ^*)^T = calcolo di complesso coniugato}

Hermitiano ⇒ la sua matrice è sua trasposta coniugato (quindi è reale e simmetrica)

Propr. fond: λ(R)_≥0 def non negativo: ∑∇ x(n)^*r(h, n)x(n^') > 0 o tutti valori > 0

Gli autoval. sono positivi

Possiamo ordinarli λ₁ > ... > λ_N≥0

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Varianza (wiki)

σ_x² = E[(X - E[X])²] è il valore atteso del quadrato della var. aleatoria centrata X - E[X]

Covarianza (wiki)

Cov (X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] è il prodotto valore atteso di prodotti delle loro distanze dalla media.

Valore atteso

1D E{u^H/s/μ^{ut(h, h)}} N x 1

2D E{u(m, h)} = μ(m, h)

Varianza

σ_u²(h) = E[|u(h) - μ(h)|²] = diag [r(η, η')]

Covarianza

1D

Cov [u(η), u(η')] = E{[u(η) - μ(η)][u^*(η') - μ^*(η')]^T} _{var. aleat. X Y}

R_u = R = r(η, η') (matrice N x N) _{matrice Ru hermitiana simmetrica e anti diversa}

2D

Cov{u(m, h), u(m', h')} = E{(u(m, h) - μ(m, h)) _{tensore 4^o ordine}}

Autocorrelazione

1D σ²(η) = r(η, η) = diag (R)

≠ vettore che rappresenta le varianze delle singole componenti del vettore

Covarianza con sé stesso N.B. Non esiste un'ancora in 2D

Proprietà

La matrice di covarianza R_u è hermitiana

DIM: - Calcolo R_u^* → R_u^* = E{(u - μ)(u^* - μ^*)^T _conjugate = calcolo il coppiens = E{(u^* - μ^*)(u - μ)^T} = _{(c.C.) trasp.}= E{(u - μ)(u^* - μ^*)^T} = R_u

Hermitiana → la sua matrice è sua trasposta coniugata (quindi è reale e simmetrica)

Proprietà fond.

La (R_u) è def pos negativa: ∑ _h ∑ x(n) r(h, η) x^*(h') > 0 ∀ x(n) ≠ 0 ovvero gli autov. sono positivi

Possiamo trovare ord. tali λ₁ > ... > λ_N ≥ 0

Stima della covarianza

Supponiamo che \( x^{(1)}, \ldots, x^{(N)} \) sia l'insieme di \( n \) realizzazioni (osservazioni) di un segnale random \( x \) aventi v. med. nulla, ovvero \( E\{x\} = 0\)

Si può dimostrare che il v.m. di una funzione può essere stimato come segue:

\[ E \{ f(x) \} \approx \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N} f(x^{(k)}) \]

Dunque sapendo che la mat. covar. è (qui si calcola quella di autocorrelazione) allora:

\[ R_{x} = E \{ x \cdot x^{T} \} \approx \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N} x^{(k)} \cdot (x^{(k)})^{T} \]

Dove \( f(x) = x \cdot x^{T} \)

Rendiamo la formula più completa introducendo la "data matrix" \( X \), una matrice \( N \times N \) che ha per colonne le osservazioni del segnale \( x^{(1)}, \ldots, x^{(N)} \) : Quindi:

\[ R_{x} \approx \frac{1}{N} X \cdot X^{T} \]

Stesso discorso se prendiamo in considerazione \( N \) realizzazioni di un'immagine \( u(m,n) \), ovvero \( u^{(1)} , \ldots, u^{(N)} \)

Il tensore di covarianza si stima così:

\[ R \approx E \{