Seconda parte degli appunti teorici del corso di meccanica dei solidi ( da travi di DSV fino al PLV)

Trave di Saint-Venant

Un problema di elasticità lineare particolarmente importante, del quale è possibile trovare, in numerosi casi, la soluzione analiticaesatta è il cosiddetto problema di Saint-Venant. L’interesse principale di tale problema risiede nel fatto che la sua soluzione viene utilizzata nella pratica ingegneristica per lavalutazione dello stato tensodeformativo nelle strutture costituite da travi.

avente la3d 1Èun corporiguarda Seadetto solidocostante one ecompattaVenantprisma StdiIpotesi geometria riferita alla intrinscaterna11 natura geometrica eeggg e a11 Il distatica equilibriotrave solido2 vincoliNATURA IN è privodied canidi risultanteè siasistema nullounasoggettodice èil autoequilibratosistemache21 D bovunqueE Forze di volume3 se Forza sullaE lateralesu nuocee supElE41 Ein L Isonzo basidi nullanonsuesupE Io in z oles anelasticadeformazioni nullasono31 natura del materiale elastico Omogeneolinearecontinuo isotropoda E Ocaratterizzato costantiquindi soleaInoltre due Piccolisubitidine i cambiamenti solidoipotizziamo sianoconfigurazione

In base alle ipotesi fatte il problema di S.Venant si configura come un particolare problema di elasticità lineare. La soluzione dis.Venant si fonda su un hp riguardante il regime tensionale del prisma e la correttezza di tale hp viene verificata a posteriori, si parlaquindi di un postulato.

Formulazione generale

Formulazione generale 1s equazionicongruenzaeoequilibrio legame costitutivo16 o131f È is funzioni DA trovaresApprofondimentoTenuto didi diconto ledon'ap divolume indefinitoforza equazioni equilibrioassenzasarannofffftfoÈ GIOÈ le contorno esplicitatecondizioni de sooovengonodatoeat dal tesolidosulla cheche so 9supggGg oAvrò datelegame dallapoi costitutivole equazione di legge Noonedi

Restano infine da mettere in conto le equazioni di congruenza che governano la cinematica del solido deformabile. Osservando cheil contorno del prisma, per hp, è completamente libero, il campo di spostamenti potrà essere determinato a meno di un moto rigido,inessenziale ai fini del calcolo di sforzi e deformazioni nel prisma. Per questo motivo si può rinunciare a mettere in conto fra leincognite anche le componenti del campo di spostamenti, imponendo che le deformazioni incognite discendano da un campo dipiccoli spostamenti continuo e derivabile attraverso le equazioni di congruenza interna.

Postulato di Saint-Venant

Postulato dedi SaintVenant diPrincipio equivalenza elasticasolodipendono da Mx MaEy Tx My6g N TyDE Vero distanza bordidai superioraper adiametro sezione basiA didistanza dilo statodalleDuna sforzo e deformazionedalle totrazionidipendono doccesolo erisultanti superficialiazioni interneSe si trazioniditrave sistemaperturba scarica un susuperficialiautoaquilibrateconuna unadella addelle distanzabasi l'effetto perturbazione si attenua deapariunamassi­matrasversaledimensione della sezione

Da quanto detto si capisce perche sono molto importanti le ipotesi di natura geometrica che sono state spiegate: infatti, affinché lasoluzione ottenuta sia rappresentativa dello stato tensodeformativo del solido, gli effetti di bordo associati alla modalità di caricodevono essere confinati in zone poco estese rispetto alle sue dimensioni globali, per questo L > 10D. Consideriamo ora la seguentefigura:

Le 12 componenti introdotte, non sono tutte indipendenti tra di loro dato che il solido deve risultare auto equilibrato per cui siavranno tra di loro dei legami che possono essere facilmente ottenuti effettuando le equazioni di equilibrio alla traslazione e allarotazione del solido. Si troverà: Ty TyTeTx Tx NeTy No Nio iniio Ithin e

Grazie a questo postulato, i risultati che si ottengono per una situazione di carico ben precisa si possono estendere ad altresituazioni piu’ generali.I risultati dei casi di De Saint Venant si usano per valutare gli sforzi locali in travi sollecitate da N, M, T, ovvero le azioni interneche si determinano con la statica dei corpi rigidi.

Azione assiale

Azione assiale l'unicafasi l'ap ce sollecitazione nel siaprismapresente62lo siaassiale ovunquecostantetuosforzo e ce sforzoE hp soddisfaimmediato leaverificare questaSE di equilibrio leequazioni sideformazioni cedevonoverificano anco asoddisfarediequazioni congruenzaan pargo internaI Z Nz452 Ezµ CongruenzaE E EzGzLEGAME COSTITUTIVO NAGadEQUILIBRIO EQUIVALENZA NdaYEEaEGIDA NEZAE NEQUAZIONI IfL Ez I62Dev'AZIONEASSIALE EZ4In trasversali Exleyviècaso ca deformazionisiquesto nonsupposto erano di Hookelarealtà era leggesonoci per valgononella eEx OtaEy V62Eil dzinizialedi di lunghezzaprisma subisceconciogenerico contrazionedi siavariazionequindi lunghezza una ouna gazdilatazione delladatrasversale primadiverso quello immaggina4dz segg ggegeomLEeka E a rigidezza genericodi un prismaassialee a concio del

Lezione 23 112022

LEZIONE 23 112022E Si i del abbiano risultantebasecarini sullache applicati prismaimmaggini inerzia delleassiad diattornoil momento basimucca ce coro principali siadeglima uno dida sidiverso la unacoraannoi flettentezero momentopresenzaY yMe tGMr aaDIAGRAMMAmomento MaFLETTENTE FlessionesuccedediImponiamo congruenza trave aallacanciano capire questcosae soggettamomento flettente Ay di circonferenzaÈÈ fibra neoTETRA gg Lo faL Path FIBRAGENERICAx etnia proxg EErba Ez Proxa il lineareèdiagrammaASSE NEUTRO ECostitutivoLegame IE E Ez62 2z AGha i DX GzE o ossia l'asse neutroè doveEquilibrio aaaa aaaaDATEN 624A O SIO fa A EIEtEYda.EEYj daMe ptR Mai 1IxÈI II 1 Ucurvatura in EffyEx Ey 4inoltreMa II 4Ez 62 3Ricordando Le I 2EI1 3 RETTA XFORMULE DELLA2 IN7 FLESSIONE4 Piano l'asse prismagiacecui delinma ÀÉÉTÉil InflessioneE lah Penha neutrot addog assesa E 4h Asse NEUTROg Asse dove ci sonononaaaa aaaafibra tesa InNella inevitabilmente presenti asiaOss sezione sono comprarePer162del talele fibre piano è0 dettomotivorisultanoz scarica ezparticolare dettadellala traccia è Asseneutro sezionepiano pianoe sua neutranoa genericasi noti l'asse neutro baricentricode è distantiPoiché fibre sollecitatele più piùossa sezione sononella generica quellelydall'asse La traducedineutro resistenza insiverificay 167,67G GtE emaxQuindi di diOss parità dal vista èflessionalepuntoa più celiciante unapesotrave distanti dall'asseconcentrataèla zonemateria piùnellenera qualeneutro ad travitra èesempio laqueste efficientepiùaad FZ Z MxLa piano SSdi sollecitazioneI Per 1 flettentedog momentoè caMSstRettaFlessione iidi l'assedil'asse coincide sollecitazione ssconinflessione dila travedona sollecitazionerimane neldeformata pianoMèilsuccede Mycosa se neMIE È ÈÈBt EIPg MI II2g Ez62 EzyE IgEx VIIIEyASSESS Xhh Asse 7 a Retta Adformule yFlessione AsseIntornoii Asse xk Ejke Rigidezzaoss DELFLESSIONALE PRISMAMedi travedelaDana l'assecuine trasformasidi incostanza quello perconseguecerchioARCO diun RealiNelle travi Ma flessionecaso della deviatacoesisteree My possonoPseE linearitàdiinil condizioniapplicarepossibile sianoporciPiccoli LLspostamenti deie geometricaLINEARITA DINooneLEGGEDEL MATERIALE y5 n IL'Ei I My Iyi Met MyM­ariBAa DXn Me M costresentmyisnME IL62_ gCanciano 62neutro 0imponendoasseII ÉIentricoIIx IIYI tgrOttengo y 9 oy B 8Ixhpcon Ig sm segg ii SuÉ diAsse inflessioneg forma digiroscopisezioni sezioni1 cheOss a poligono oregolareIgIxdal fattocircolari dacaratterizzateessa cuisono perB daflessione siaindipendentementeretta cioè qualesi auna ydil'asse sollecitazioneAnche 62 linearmentein cresceora caso coontanandosiquestodall neutroasse diQuando formaconsiderasi sezioneuna genericala Medideviata momentoflessione manifestasi inanche solo sepresenza undelladi inerzia chiamiamoè tracosa l'angolonon principale easezione mle formulesi seguentiavranno IIGnr Invio Ig2Ega IIe62 VIg il62 II IIGz vFDer uCaso in allacui sforzoflessione Normalesi aggiunge uno

Tenso presso flessione

Tenso PRESSO FLESSIONEINTRO = si immagini adesso che le azioni esterne agenti sulle basi del prisma abbiano per risultante una forza assiale N, nonbaricentrica. La retta di applicacazione della forza N interseca la generica sezione della trave in un punto P detto centro di pressione.La distanza fra P e il baricentro G della sezione è detta eccentricità e della forza assiale.

La forza assiale eccentrica può sempre essere vista come risultato del trasporto di una forza applicata lungo l’asse della trave adopera di un momento M = Ne. Ne consegue che il caso in esame può essere studiato sommando gli effetti già visti. Si dice in questicasi che il prisma è soggetto a tenso/presso flessione a seconda che l’azione assiale sia, rispettivamente di trazione o compressione.Se il momento di trasporto agisce attorno a uno te gli assi principali di inerzia della generica sezione, si parlerà di (tenso-) presso-flessione retta, nel caso contrario essa sarà deviata.

g ma II IIoz yE qn MISs sI IIcambia mentrocena oyey Imgis Ag x.IEtgoEyn x ExBtgÈ natiiIs 4hOss s non perpassail baricentro mantieneii maSsE l'inclinazione che maaavevaflessionedara deviatacaso fibradella laCome1 flessione055 semplice piùcasonel solle­citate dall'asselontanarisultano quelle neutropiuessere0552Nel caso dell’azione assiale eccentrica, l’asse neutro non è baricentrico. A seconda della posizione del centro di pressione, l’asseneutro può tagliare la sezione, caso nel quale esistono fibre sia tese che compresse, oppure cadere al suo esterno, cosicché tutte lefibre del prisma sono o tese o compresse, a seconda del segno di N.Come la degliavviene sovrapposizioneanca graficoneloggetti29112022LEZIONE

Torsione 3D

ORSIONE 3DINTRODUZIONE Saintdisi Venant basiil sullede sia unaaprismaimmaggini soggettodistribu­zione Mesocacitazionidi staticamente agenteattorno al suounaaequivalente coppia terminadi torcentelei iltale nome momentoprendeasse coppia Ivy

Trave rettilinea di lunghezza L0 con sezione circolare di raggio R soggetta a duemomenti torcenti Mz = Mt, agenti sulle due basi, diretti lungo l’asse della trave.E’ il momento di un albero rotante.

by 70MEMt UET DE FaMtME 1 az Il1111111 mantienesezioneLa aI'angolo NELFORMA Proprio ruotorsione pianodi RIGIDAMENTE INTORNO ZAit faz della sezioneingobbamentoE pianarestasezionela nonPerNB Mztorcentealloèequilibrio stessomomentosezioneogni soggettaPer il tipo di tgzialiossa particolare tesollecitazione aaaaci sono solo sezionesforziMt forzeda diInfatti momentoil pianonelunapuò essere rappresentato coppia xyI ytz.INT AMIMIEIs d TzydAtaxa y da xle dideboli terminalicondizioni basicontorno ilal sforzi sullecampoper dietatorcentemomentoe il applicatoLiggiodAt.geMITICIÈ riescoun problema nonperperché asezioneuna genericadistribuzionela degli tyzialisforzi adcapire seperché esempiodi discontinuitài verticisezioneunaprendo puntisuoi sarannorettangolareTuttavia trovareè solmail contorno possibile nel particolarecasoperdi circolaresezione

Torsione circolare

Torsione circolareIn di le5Venant noncircolare sisezionitorsioneprisma sezioneaun asoggetto Ille allerispettoruotano altre nelma une proprio pianoingobbano rigidamente di dellaB cuisi cerchiolungo arcoun nel asezionepunto sposta pianogenericoappartiene AyBc Io Yee patataBi AA ROBSotto l’azione della coppia torcente, le sezioni rette della trave ruotano una ROSBBrispetto all’altra. Considerando nulla la rotazione della sezione a z = 0, la IBB 8Lsezione a z = L0 ruota complessivamente di un angolo θ detto angolo di Rfibra AB disposta come una direttrice del cilindro si sposta nellatorsione. Una E o8esternaposizione AB’ individuando un angolo di scorrimento sulla superficiepari a γ. B 8 divariazioneZoom scorrimentos y cheun inizialmenangolote ena rettoD BE fratD O Ogni cilindro di raggio r compreso tra 0 e R si comporta in modoanalogo, per cui gli scorrimenti variano linearmente tra il centro el’esterno del cilindro. Dal legame costitutivo si deduce la presenzadi sforzi tangenziali τ che agiscono sulla sezione retta e chevariano linearmente lungo ogni raggio della sezione, assumendoOPER valore nullo al centro e massimo all’esternoI LEBRA Io aaa Omar0EJPer l'andamento luogoscorrimenti un genericodeglicui raggiolinarmentevaria SEy g CONGRUENZADXray 988zeLEGAME GreyJay TayE fa yraga TagDXn Tzeg da pdadeda dapdsrgdh­dx­.siMI DAti gEyeIIfp dads 3dgEra2T IIg RRispetto GPosareINERZIA Smomento adi TIIodaIG IxIgt Igyax MtOGI Ioda MEcui GIO f generico raggionoE pagS'IttTI gg Formule torsionedellaII CIRCOLARETa p IITzyTzeMt II yo GIGFitzyTiz Nella torsioneOss circolare lasezio­nelesi dolormaziomantiene epianaMtLI E I98 zip descrittedall'augemi sono completamenteGIG co torsionedila di Tz daldefinitaè